Алгебраическое расширение поля. Старший коэффициент полинома

[Spandei]

Есть конечное поле. Производится его расширение путем присоединения корня неприводимого над ним полинома, причем старший коэффициент полинома не равен $1$, то есть полином - неприведенный. Вопрос - как изменится расширение, если сделать его приведенным?

Собственно, первое, что приходит в голову - расширение не изменится, т.к. корень мы присоединяем тот же. С другой стороны, все операции в расширенном будут производиться по модулю другого полинома. В общем, сомневаться я стал. Подскажите пожалуйста, прав ли я, и если нет - как будет выглядеть новое расширение относительно старого.

[Xaositect]

Новое расширение будет абсолютно таким же, потому что операции по модулю $f$ и по модулю $af$, $a\neq 0$ не отличаются.