Что такое естественный изоморфизм?

[jhanjaa]

Здравствуйте! Прошу прощения за тривиальный вопрос, но нигде не могу найти определения натуральности/естественности изоморфизма. В чем натуральность-то?

[xmaister]

Это, скорее, не формальное понятие. Вот например рассмотрим кольца $\mathbb{Z}$ и $\mathbb{Q}$. Угадайте, какой гомоморфиз будет естественным.

[Joker_vD]

xmaister
Нет, ну почему же. Возьмем, например, категорию $\mathbf{Grp}$ и зададим функтор $F\colon\mathbf{Grp}\to\mathbf{Grp}$ следующим образом: $F(G,\cdot)=(G,\cdot^{\mathrm{op}})$, а $Ff=f$. Тогда между функторами $\mathrm{id}$ и $F$ существует естественный изоморфизм (т.е. естественное преобразование, чьи компоненты не просто морфизмы, а изоморфизмы), чьи компоненты и являются естественными изоморфизмами между группой и ее инверсной группой.

Или функтор $DD\colon \mathbf{Vct}_k\to\mathbf{Vct}_k$, сопоставляющий векторному пространству его двойственное — он тоже естественно изоморфен функтору $\mathrm{id}$. И его компоненты — как раз естественные изоморфизмы.

[xmaister]

Joker_vD
Я этого не знал

Joker_vD в сообщении #672008 писал(а):

Тогда между функторами $\mathrm{id}$ и $F$ существует естественный изоморфизм

Т.е. естественный изоморфизм- изоморфизм в категории функторов?

[apriv]

Joker_vD в сообщении #672008 писал(а):

Или функтор $DD\colon \mathbf{Vct}_k\to\mathbf{Vct}_k$, сопоставляющий векторному пространству его двойственное

Тогда уж дважды двойственное, иначе не изоморфен.

[jhanjaa]

apriv в сообщении #672050 писал(а):

Joker_vD в сообщении #672008 писал(а):

Или функтор $DD\colon \mathbf{Vct}_k\to\mathbf{Vct}_k$, сопоставляющий векторному пространству его двойственное

Тогда уж дважды двойственное, иначе не изоморфен.

Конечномерное векторное пространство изоморфно дуальному, но не естественно, поскольку изоморфизм зависит от выбора базиса. Вот это и не понятно - похоже, что естественность - это не просто изоморфизм в компонентах естественного преобразования, но еще похожа на какую-то (какую?) инвариантность. Так?

[apriv]

jhanjaa в сообщении #672061 писал(а):

Конечномерное векторное пространство изоморфно дуальному, но не естественно, поскольку изоморфизм зависит от выбора базиса. Вот это и не понятно - похоже, что естественность - это не просто изоморфизм в компонентах естественного преобразования, но еще похожа на какую-то (какую?) инвариантность относительно выбора объектов. Так?

Конечномерное векторное пространство изоморфно двойственному, но этот изоморфизм не продолжается до ковариантного функтора из категории левых векторных пространств в себя: совершенно неизвестно, как определить его на морфизмах пространств.

[jhanjaa]

Спасибо всем!

[Joker_vD]

apriv
Да-да, разумеется, дважды двойственному, потому и $DD$, а не $D$... Впрочем, если к каждому векторному пространству приклеить изоморфизм на его двойственное, сузить набор стрелок категории только до стрелок, коммутирующих с приклеенными изоморфизмами, то будет $\mathrm{id}\cong D$ — конечно, это уже будет категория конечномерных векторных пространств с невырожденной билинейной формой. Но тоже неплохо.

xmaister в сообщении #672049 писал(а):

Т.е. естественный изоморфизм- изоморфизм в категории функторов?

Да.

Еще есть просто естественные морфизмы. Например, $\det$. Или проекция $G\to G/[G,G]$. Да то же вложение $V\to V^{**}$ — оно хоть и не изоморфизм в общем случае, но все равно остается естественным морфизмом.

[jhanjaa]

Joker_vD в сообщении #672089 писал(а):

...
Еще есть просто естественные морфизмы. Например, $\det$. Или проекция $G\to G/[G,G]$. Да то же вложение $V\to V^{**}$ — оно хоть и не изоморфизм в общем случае, но все равно остается естественным морфизмом.

Пожалуйста, а это что такое - естественный морфизм? В чем естественность?

[apriv]

jhanjaa в сообщении #672096 писал(а):

Пожалуйста, а это что такое - естественный морфизм? В чем естественность?

В том, что он согласован с морфизмами, то есть, является естественным преобразованием функторов: http://en.wikipedia.org/wiki/Natural_transformation

[jhanjaa]

Спасибо