Как найти разность двух больших степеней?

[parallax_qq]

Нужно найти разность: $A^a-B^b$ с заданной точность (возможно только первые несколько цифр), где b округлённая к минимальной целой части $a\cdot \log_B A$, т. е. минимальная целая степень B меньшая за $A^a$. Прямо вычислить не представляется возможным т. к. степени a, b могут быть достаточно большими (>1000). Подскажите, пожалуйста, в каком направлении двигаться.

[Someone]

Степени легко вычисляются с помощью (таблиц) логарифмов.

[parallax_qq]

Someone в сообщении #671841 писал(а):

Степени легко вычисляются с помощью (таблиц) логарифмов.

нужно, наверное, добавить что есть ограничение на количество значащих цифр, которое намного меньше длине чисел в этой степени. В общем можно ли как либо найти значение этой разности последовательно начиная со старших разрядов abcdeklm.... и так заданное количество цифр??

[TOTAL]

parallax_qq в сообщении #671840 писал(а):

Нужно найти разность: $A^a-B^b$

Без словесных добавок запишите искомую разность.

[Евгений Машеров]

Вычисляете $b=\left \lfloor \frac{a \log A}{\log B} \right \rfloor $
Получаете максимальную целую степень, удовлетворяющую условию. Делаете расчёт в плавающей точке (возможно, дополнительно отнормировав, во избежание переполнения) и находите разность.

[parallax_qq]

TOTAL в сообщении #671847 писал(а):

parallax_qq в сообщении #671840 писал(а):

Нужно найти разность: $A^a-B^b$

Без словесных добавок запишите искомую разность.

задано $k$, найти $x_1 .. x_k$
$B^n \cdot x_1 +\ B^{n-1} \cdot x_2 \ + ... + \ B^{n-k} \cdot x_k \ + ... = A^a - B^{\lfloor a \cdot \log_B A \rfloor}$,

[TOTAL]

parallax_qq в сообщении #671852 писал(а):

задано $k$, найти $x_1 .. x_k$
$B^n \cdot x_1 +\ B^{n-1} \cdot x_2 \ + ... + \ B^{n-k} \cdot x_k \ + ... = A^a - B^{\lfloor a \cdot \log_B A \rfloor}$,

Здесь много всяких букв. Что известно и что требуется найти.

[parallax_qq]

TOTAL в сообщении #671859 писал(а):

parallax_qq в сообщении #671852 писал(а):

задано $k$, найти $x_1 .. x_k$
$B^n \cdot x_1 +\ B^{n-1} \cdot x_2 \ + ... + \ B^{n-k} \cdot x_k \ + ... = A^a - B^{\lfloor a \cdot \log_B A \rfloor}$,

Здесь много всяких букв. Что известно и что требуется найти.

что нужно найти я написал, а все остальные величины известны, просто количество неизвестных зависит от величины $k$

[TOTAL]

parallax_qq в сообщении #671861 писал(а):

что нужно найти я написал, а все остальные величины известны, просто количество неизвестных зависит от величины $k$

Т.е. Вы понимаете, что найти. Успеха.

[ewert]

Это $A^a\left(1-B^{-\varepsilon}\right)=10^{a\lg A+\lg\left(1-B^{-\varepsilon}\right)}$, где $\varepsilon$ -- это дробная часть $a\frac{\ln A}{\ln B}$.

[parallax_qq]

ewert в сообщении #671871 писал(а):

Это $A^a\left(1-B^{-\varepsilon}\right)=10^{a\lg A+\lg\left(1-B^{-\varepsilon}\right)}$, где $\varepsilon$ -- это дробная часть $a\frac{\ln A}{\ln B}$.

не могли бы Вы расписать, пожалуйста, как это получилось из $A^a - B^{\lfloor a \cdot \log_B A \rfloor}$, а то что-то не понятно, к сожалению.

[ewert]

$$A^a=B^{\beta},\ \beta=a\frac{\ln A}{\ln B}\equiv b+\varepsilon,\ \text{где}\ b=[\beta];\ \ A^a-B^b=A^a-B^{\beta-\varepsilon}=A^a-A^a\cdot B^{-\varepsilon}.$$