2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Как найти разность двух больших степеней?
Сообщение15.01.2013, 11:20 
Аватара пользователя
Нужно найти разность: $A^a-B^b$ с заданной точность (возможно только первые несколько цифр), где b округлённая к минимальной целой части $a\cdot \log_B A$, т. е. минимальная целая степень B меньшая за $A^a$. Прямо вычислить не представляется возможным т. к. степени a, b могут быть достаточно большими (>1000). Подскажите, пожалуйста, в каком направлении двигаться.

 
 
 
 Re: Как найти разность двух больших степеней?
Сообщение15.01.2013, 11:27 
Аватара пользователя
Степени легко вычисляются с помощью (таблиц) логарифмов.

 
 
 
 Re: Как найти разность двух больших степеней?
Сообщение15.01.2013, 11:44 
Аватара пользователя
Someone в сообщении #671841 писал(а):
Степени легко вычисляются с помощью (таблиц) логарифмов.

нужно, наверное, добавить что есть ограничение на количество значащих цифр, которое намного меньше длине чисел в этой степени. В общем можно ли как либо найти значение этой разности последовательно начиная со старших разрядов abcdeklm.... и так заданное количество цифр??

 
 
 
 Re: Как найти разность двух больших степеней?
Сообщение15.01.2013, 11:50 
Аватара пользователя
parallax_qq в сообщении #671840 писал(а):
Нужно найти разность: $A^a-B^b$
Без словесных добавок запишите искомую разность.

 
 
 
 Re: Как найти разность двух больших степеней?
Сообщение15.01.2013, 11:53 
Аватара пользователя
Вычисляете $b=\left \lfloor \frac{a \log A}{\log B} \right \rfloor $
Получаете максимальную целую степень, удовлетворяющую условию. Делаете расчёт в плавающей точке (возможно, дополнительно отнормировав, во избежание переполнения) и находите разность.

 
 
 
 Re: Как найти разность двух больших степеней?
Сообщение15.01.2013, 12:14 
Аватара пользователя
TOTAL в сообщении #671847 писал(а):
parallax_qq в сообщении #671840 писал(а):
Нужно найти разность: $A^a-B^b$
Без словесных добавок запишите искомую разность.

задано $k$, найти $x_1 .. x_k$
$B^n \cdot x_1 +\ B^{n-1} \cdot x_2 \ + ... + \  B^{n-k} \cdot x_k \ + ... =  A^a - B^{\lfloor a \cdot \log_B A \rfloor}$,

 
 
 
 Re: Как найти разность двух больших степеней?
Сообщение15.01.2013, 12:19 
Аватара пользователя
parallax_qq в сообщении #671852 писал(а):
задано $k$, найти $x_1 .. x_k$
$B^n \cdot x_1 +\ B^{n-1} \cdot x_2 \ + ... + \  B^{n-k} \cdot x_k \ + ... =  A^a - B^{\lfloor a \cdot \log_B A \rfloor}$,

Здесь много всяких букв. Что известно и что требуется найти.

 
 
 
 Re: Как найти разность двух больших степеней?
Сообщение15.01.2013, 12:22 
Аватара пользователя
TOTAL в сообщении #671859 писал(а):
parallax_qq в сообщении #671852 писал(а):
задано $k$, найти $x_1 .. x_k$
$B^n \cdot x_1 +\ B^{n-1} \cdot x_2 \ + ... + \  B^{n-k} \cdot x_k \ + ... =  A^a - B^{\lfloor a \cdot \log_B A \rfloor}$,

Здесь много всяких букв. Что известно и что требуется найти.

что нужно найти я написал, а все остальные величины известны, просто количество неизвестных зависит от величины $k$

 
 
 
 Re: Как найти разность двух больших степеней?
Сообщение15.01.2013, 12:28 
Аватара пользователя
parallax_qq в сообщении #671861 писал(а):
что нужно найти я написал, а все остальные величины известны, просто количество неизвестных зависит от величины $k$
Т.е. Вы понимаете, что найти. Успеха.

 
 
 
 Re: Как найти разность двух больших степеней?
Сообщение15.01.2013, 12:44 
Это $A^a\left(1-B^{-\varepsilon}\right)=10^{a\lg A+\lg\left(1-B^{-\varepsilon}\right)}$, где $\varepsilon$ -- это дробная часть $a\frac{\ln A}{\ln B}$.

 
 
 
 Re: Как найти разность двух больших степеней?
Сообщение15.01.2013, 13:57 
Аватара пользователя
ewert в сообщении #671871 писал(а):
Это $A^a\left(1-B^{-\varepsilon}\right)=10^{a\lg A+\lg\left(1-B^{-\varepsilon}\right)}$, где $\varepsilon$ -- это дробная часть $a\frac{\ln A}{\ln B}$.

не могли бы Вы расписать, пожалуйста, как это получилось из $A^a - B^{\lfloor a \cdot \log_B A \rfloor}$, а то что-то не понятно, к сожалению.

 
 
 
 Re: Как найти разность двух больших степеней?
Сообщение15.01.2013, 14:10 
$$A^a=B^{\beta},\ \beta=a\frac{\ln A}{\ln B}\equiv b+\varepsilon,\ \text{где}\ b=[\beta];\ \ A^a-B^b=A^a-B^{\beta-\varepsilon}=A^a-A^a\cdot B^{-\varepsilon}.$$

 
 
 [ Сообщений: 12 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group