Инвариантные подпространства оператора.

[tiktak]

Линейный оператор $f $в $n$-мерном пространстве в некотором базисе имеет диагональную матрицу с различными элементами на диагонали.Найти все подпространства, инвариантные относительно$ f$.

Ясно, что одномерными инвариантными подпространствами являются собственные векторы, то есть базисные.
И, видимо, остальные инвариантные подпространства есть линейная оболочка подсистем базиса.
Как это доказать?

[мат-ламер]

tiktak в сообщении #670967 писал(а):

И, видимо, остальные инвариантные подпространства есть линейная оболочка подсистем базиса.

Мне кажется, что в случае кратных собственных значений может быть чуточку посложнее.
А, извиняюсь за глупость, по условию все с.з. значения разные!

[tiktak]

Достаточно ли того, что базис любого подпространства принадлежит базису пространства?

[bot]

А что это означает?

[ewert]

tiktak в сообщении #670967 писал(а):

Как это доказать?

Сначала нужно чётко сформулировать то, что мы пытаемся доказать. Например, так: подпространство является инвариантным тогда и только тогда, когда в нём можно выбрать базис, составленный из собственных векторов.

В одну сторону (справа налево) утверждение очевидно. В обратную -- довольно нетривиально, и способ доказательства зависит от построения курса.

Доказать "с нуля" (т.е. не используя вообще никаких теорем) можно, например, так. Пусть $\vec e_1,\vec e_2,\ldots,\vec e_n$ -- собственный базис оператора $A$ и $\vec b_1,\vec b_2,\ldots,\vec b_r$ -- базис в инвариантном подпространстве. Пусть $B$ -- матрица разложения второго "подбазиса" по первому, т.е. $\vec b_i=\sum\limits_{k=1}^nb_{ik}\vec e_k$. Приведём эту матрицу (используя при необходимости перестановку её столбцов, т.е. перенумерацию $\vec e_k$) к матрице $C$, в левой части которой стоит единичная матрица, в правой же -- как получится. Строки новой матрицы задают также некий базис в подпространстве: $\vec c_i=\sum\limits_{k=1}^nc_{ik}\vec e_k$. Так вот, если чуток подумать, то становится ясно: каждый из векторов $A\vec c_i$ не вывалится из подпространства только тогда, когда сам $\vec c_i$ -- некоторый собственный вектор.

И это независимо от того, есть ли кратные собственные числа или нет. Как простота собственных чисел может хоть сколько-то упростить хоть какое-то доказательство -- не знаю.