Как это доказать?
Сначала нужно чётко сформулировать то, что мы пытаемся доказать. Например, так: подпространство является инвариантным тогда и только тогда, когда в нём можно выбрать базис, составленный из собственных векторов.
В одну сторону (справа налево) утверждение очевидно. В обратную -- довольно нетривиально, и способ доказательства зависит от построения курса.
Доказать "с нуля" (т.е. не используя вообще никаких теорем) можно, например, так. Пусть
-- собственный базис оператора
и
-- базис в инвариантном подпространстве. Пусть
-- матрица разложения второго "подбазиса" по первому, т.е.
. Приведём эту матрицу (используя при необходимости перестановку её столбцов, т.е. перенумерацию
) к матрице
, в левой части которой стоит единичная матрица, в правой же -- как получится. Строки новой матрицы задают также некий базис в подпространстве:
. Так вот, если чуток подумать, то становится ясно: каждый из векторов
не вывалится из подпространства только тогда, когда сам
-- некоторый собственный вектор.
И это независимо от того, есть ли кратные собственные числа или нет. Как простота собственных чисел может хоть сколько-то упростить хоть какое-то доказательство -- не знаю.