2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Инвариантные подпространства оператора.
Сообщение13.01.2013, 07:14 


08/10/12
13
Линейный оператор $f $в $n$-мерном пространстве в некотором базисе имеет диагональную матрицу с различными элементами на диагонали.Найти все подпространства, инвариантные относительно$ f$.

Ясно, что одномерными инвариантными подпространствами являются собственные векторы, то есть базисные.
И, видимо, остальные инвариантные подпространства есть линейная оболочка подсистем базиса.
Как это доказать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Инвариантные подпространства оператора.
Сообщение13.01.2013, 09:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7068
tiktak в сообщении #670967 писал(а):
И, видимо, остальные инвариантные подпространства есть линейная оболочка подсистем базиса.

Мне кажется, что в случае кратных собственных значений может быть чуточку посложнее.
А, извиняюсь за глупость, по условию все с.з. значения разные!

 Профиль  
                  
 
 Re: Инвариантные подпространства оператора.
Сообщение14.01.2013, 10:43 


08/10/12
13
Достаточно ли того, что базис любого подпространства принадлежит базису пространства?

 Профиль  
                  
 
 Re: Инвариантные подпространства оператора.
Сообщение15.01.2013, 04:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5931
Новосибирск
А что это означает? :shock:

 Профиль  
                  
 
 Re: Инвариантные подпространства оператора.
Сообщение15.01.2013, 20:33 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
tiktak в сообщении #670967 писал(а):
Как это доказать?

Сначала нужно чётко сформулировать то, что мы пытаемся доказать. Например, так: подпространство является инвариантным тогда и только тогда, когда в нём можно выбрать базис, составленный из собственных векторов.

В одну сторону (справа налево) утверждение очевидно. В обратную -- довольно нетривиально, и способ доказательства зависит от построения курса.

Доказать "с нуля" (т.е. не используя вообще никаких теорем) можно, например, так. Пусть $\vec e_1,\vec e_2,\ldots,\vec e_n$ -- собственный базис оператора $A$ и $\vec b_1,\vec b_2,\ldots,\vec b_r$ -- базис в инвариантном подпространстве. Пусть $B$ -- матрица разложения второго "подбазиса" по первому, т.е. $\vec b_i=\sum\limits_{k=1}^nb_{ik}\vec e_k$. Приведём эту матрицу (используя при необходимости перестановку её столбцов, т.е. перенумерацию $\vec e_k$) к матрице $C$, в левой части которой стоит единичная матрица, в правой же -- как получится. Строки новой матрицы задают также некий базис в подпространстве: $\vec c_i=\sum\limits_{k=1}^nc_{ik}\vec e_k$. Так вот, если чуток подумать, то становится ясно: каждый из векторов $A\vec c_i$ не вывалится из подпространства только тогда, когда сам $\vec c_i$ -- некоторый собственный вектор.

И это независимо от того, есть ли кратные собственные числа или нет. Как простота собственных чисел может хоть сколько-то упростить хоть какое-то доказательство -- не знаю.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group