Лин. связность {a,b,c,d}

[mad1math]

Пусть $X=\{a,b,c,d\}$, а $\Omega=\Big\{X,\varnothing,\{a\},\{b\},\{a,b\},\{a,c\},\{a,b,c\}\Big\}$

Как проверить на лин. связность? Вроде как ее нет, так как нет пути из $a$ в точку $d$.Но как это доказать? С чего начать? Допустим прообраз $f^{-1}(a)$ открыт, так как $\{a\}$ открыто. Прообраз $f^{-1}(d)$ -- уже замкнут.

То есть не получается доказать, что нет непрерывного отображ $[0;1]\to X$

[Someone]

Ну, непрерывное отображение в непустое топологическое пространство есть всегда. Хотя бы постоянное.

Что касается линейной связности конкретного конечного топологического пространства, то почему Вы думаете, что её нет?

Отображение $f\colon[0,1]\to X$, определяемое формулой

$$fx=\begin{cases}a\text{, если }x\in[0,1/2),\\ d\text{, если }x\in[1/2,1],\end{cases}$$

является непрерывным.

[mad1math]

Someone в сообщении #671757 писал(а):

Ну, непрерывное отображение в непустое топологическое пространство есть всегда. Хотя бы постоянное.

Что касается линейной связности конкретного конечного топологического пространства, то почему Вы думаете, что её нет?

Отображение $f\colon[0,1]\to X$, определяемое формулой

$$fx=\begin{cases}a\text{, если }x\in[0,1/2),\\ d\text{, если }x\in[1/2,1],\end{cases}$$

является непрерывным.

Спасибо. Вот в чем есть загвоздочка небольшая)
Отображение $f : X \to Y$ называется непрерывным, если прообраз любого открытого подмножества пространства $Y$ является открытым подмножеством пространства $X$.

Проблема в том, что $\{d\}$ -- не есть открытое множество (так как не входит в $\Omega$). Разве, несмотря на это, непрерывность не нарушается? Более того, $\{d\}$ - замкнуто (а прообраз замкнутого множества должен быть замкнут). А вот про открытость или замкнутость $\{c\}$ -- вообще не понятно.

А для соединения точек $\{a\}$ и $\{b\}$ вот такой путь и для остальных также?

$$g(x)=\begin{cases}a\text{, если }x\in[0,1/2),\\ b\text{, если }x\in[1/2,1],\end{cases}$$

[mad1math]

Someone в сообщении #671757 писал(а):

Ну, непрерывное отображение в непустое топологическое пространство есть всегда. Хотя бы постоянное.

Разве? Рассмотрим дискретное топологическое пространство $\{X;\Omega\}$. Докажем, что оно не является линейно связным. Для определенности $X=\{x_1,x_2\}$

Прообразы $f^{-1}(x_1)$ и $f^{-1}(x_2)$ -- открыты.

$f(x)=\begin{cases}x_1\text{, если }x\in[0,1/2),\\x_2\text{, если }x\in[1/2,1],\end{cases}$

Тогда получаем, что отрезок $[0;1]$ - не связен (то есть противоречие), а значит нет линейной связности дискретного пространства.