Неясный вывод в ЛЛ-2 параграф 9

[Bobinwl]

Подскажите. В параграфе 9 между формулами 9.9 и 9.10 есть не очень ясный вывод для вариации действия. А именно, в чем загвоздка. Имеем уравнение:
$\[\delta S=mc\delta\int ds\]$.
Причем известно, что
$\[ds=\sqrt{x_{i}x^{i}}$\].
Выводится новое уравнение:
$\[\delta S=-mc\int\frac{dx_{i}\delta dx^{i}}{ds}\]$.
Не очень ясно:
1. Откуда при выводе взялся минус? Хотя в формуле для действия 8.1 он изначально присутствует. Но здесь речь о вариации, поэтому его опустили. Вопрос, откуда он появился.
2. Неясно, почему в последней формуле варьируется только контравариантный $x^i$. Хотя, здесь вывод вроде ясен: вариация (дифференцирование) сложной функции: корня от скалярного произведения двух векторов:
$\[\delta(x_{i}x^{i})^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\frac{1}{(x_{i}x^{i})^{\frac{1}{2}}}(\delta x_{i}x^{i}+x_{i}\delta x^{i})\]$.
Предположительно $\delta x_{i}x^{i} / x_{i}\delta x^{i}$ равны друг другу и от них оставили только удвоенный $x_{i}\delta x^{i}$.
Верное / не верно? Поправьте пожалуйста, буду благодарен.

[Munin]

Ну да, равны друг другу. Достаточно поднять индекс у одного, и опустить у другого.

-- 13.01.2013 22:33:35 --

Минус у вариации пропал из-за опечатки. В старом издании он есть. К сожалению, в книгах издания начала 2000-х полно опечаток в формулах, видимо, из-за компьютерного набора. Некоторые книги потом переиздали, опечаток стало меньше. Я думал, опечатки в основном в 3-м томе (там местами даже знаки равенства были пропущены), но вот, оказалось, и во 2-м.

[Bobinwl]

Bobinwl в сообщении #671236 писал(а):

Предположительно $\delta x_{i}x^{i} / x_{i}\delta x^{i}$ равны друг другу и от них оставили только удвоенный $x_{i}\delta x^{i}$.

Munin в сообщении #671263 писал(а):

Ну да, равны друг другу. Достаточно поднять индекс у одного, и опустить у другого.

Спасибо. Ступил конечно с этим "Предположительно...". Теперь совсем очевидно: $x_{i}y^{i}=g_{ik}x^{k}y^{i}=x^{k}g_{ik}y^{i}=x^{k}y_{k}$.

Спасибо за информацию о опечатках. Буду теперь допускать такую возможность (у меня было убеждение, что за 50 лет переизданий должны были убрать все опечатки, а они оказывается могут плодится при верстке ). Книга издания физматлит 2012.

[Munin]

Википедия сообщает, что 2 том переиздавался в компьютерных вариантах в одном переиздании (издание 8-е, стереотипное) четырьмя тиражами: 2001, 2003, 2006, 2012. Видимо, никто на опечатки между тиражами их не выверял. У меня в электронном виде 2003, с опечаткой, сверял я по изданию 1988 года (издание 7-е, исправленное).

С третьим томом было получше: его сначала издали в 5-м издании (2001, 2002 год), потом в 6-м исправленном (2004, 2008?). Видимо, количество опечаток там зашкаливало. Я в электронном виде держу издание 2004 года. И для сверки, 1989.

Остальные тома были переизданы "в эпоху компьютерного набора" по одному разу, как и второй. Тоже держу по два экземпляра.

В общем, с Ландау-Лифшицем - это какой-то особенно позорный и халявный случай. В большей части книг такого нет. А тут, возможно, торопились срубить бабла на супер-популярной книжке... Впрочем, я ещё новых переизданий ФЛФ не смотрел, и всяких Савельевых-Сивухиных. Но в других книгах я таких опечаток не встречал, возможно, из-за того, что там макет иногда автор готовит...

Ещё одно замечание по ЛЛ-2, если позволите. Эта книга была написана в 1948 году. В ту эпоху некоторые обозначения ещё не сложились окончательно, и авторы выбрали некоторый вариант, вполне нормальный для тех времён. Но потом произошла de facto стандартизация, и общепринятые обозначения стали несколько отличаться. Изо всех соглашений в этой книге, больше всего это коснулось соглашения о латинских и греческих индексах. В ЛЛ-2 принято:
- латинские индексы пробегают пространственно-временные направления 0, 1, 2, 3;
- греческие индексы пробегают пространственные направления 1, 2, 3.
Сегодня во всех областях: в релятивистской физике, в GR, в теории поля, в космологии - общепринято обратное соглашение:
- греческие индексы пробегают пространственно-временные направления 0, 1, 2, 3;
- латинские индексы пробегают пространственные направления 1, 2, 3.
Причём, в GR иногда греческие индексы идут в порядке $\alpha,\beta,\gamma\ldots,$ а в релятивистской физике, в релятивистской квантовой физике, в теории поля - чаще $\mu,\nu\ldots$ И этот второй вариант постепенно проникает и в GR. Но это не так важно, а важно другое: без дополнительных пояснений всем ясно использование латинских и греческих индексов в одном варианте, а в ЛЛ-2 оно используется в другом, в противоположном. Поэтому, когда используете формулы из ЛЛ-2, вам стоит делать одну из трёх вещей:
- или явно указывать источник цитирования;
- или явно оговаривать обозначения;
- или "переводить" формулы из одного соглашения об индексах в другое.
Я лично поступаю по третьему варианту (даже когда цитирую формулу из ЛЛ-2 со ссылкой на источник). Это просто полезно, в плане собственного привыкания к общепринятому варианту. Ну, кроме случаев вопросов по формулам и по ЛЛ-2, когда стоит приводить формулы в неизменном виде, но тогда явно будет звучать ссылка на источник.

[Bobinwl]

Спасибо. К слову сказать (конечно это субъективно), использование латинских индексов для 4-ре векторов лично мне кажется более удобным. Я даже порадовался, когда увидел такое обозначение в ЛЛ-2. Поясню: единое пространство-время является самым общим и исходным положением в современной физике. Отдельно время, отдельно пространство должно рассматриваться в частных случаях. Латиница является наиболее привычной и распространенной формой записи (формул) и использование ее по умолчанию для "глобальных вещей" кажется более естественным. Лично мне (хотя конечно же это дело привычки) все эти альфа, беты, мю, ню в качестве индексов "режут глаз" и кажутся некоторым исключением из правил. Хотя, конечно, против сложенных стандартов переть не стоит. Жалко, что сложилось не так, как в ландавшице.

[Munin]

Bobinwl в сообщении #672216 писал(а):

К слову сказать (конечно это субъективно), использование латинских индексов для 4-ре векторов лично мне кажется более удобным.

Не знаю. С одной стороны, имхо, это абсолютно дело вкуса, а с другой стороны, народ сделал свой выбор, зачем же переть против толпы?

Bobinwl в сообщении #672216 писал(а):

Поясню: единое пространство-время является самым общим и исходным положением в современной физике.

Всё это хорошо, но существуют огромные разделы физики, в которых пространство и время не объединено. Сплошная среда, твёрдое тело, нерелятивистские кванты. И довольно удобно, что эти разделы могут общаться с "релятивистскими" без перевода: $a_i$ означает пространственный индекс и там, и там.

Bobinwl в сообщении #672216 писал(а):

Лично мне (хотя конечно же это дело привычки) все эти альфа, беты, мю, ню в качестве индексов "режут глаз" и кажутся некоторым исключением из правил.

Привыкнете.

Главное другое. Хотите - пишите латинские индексы. Но только тогда на каждом шагу упоминайте, что латинские у вас - пространственно-временные.

Ещё меньше стоит полагаться на обозначения 4-го тома (написанного вообще без участия Ландау). Спиноры, операторы рождения-уничтожения - все эти обозначения лучше черпать из других учебников по КТП (Пескин-Шрёдер, Вайнберг). Фейнмановские диаграммы - не установилось единого стандарта, их читают "снизу вверх" на западе, и "слева направо" у нас, и хотя первое - де факто мировой стандарт, второе - пока ещё стандарт для отечественной литературы. Тут дело вкуса, как с буквой $\phi$ или $\varphi.$
3-й том - обязательно надо знать и уметь бра-кет обозначения. Они используются повсеместно. Но и обозначения типа ЛЛ-3 тоже широко употребимы, здесь в физике практически сложилось двуязычие. Ещё в 3-м томе использованы довольно устаревшие и подзабытые обозначения групп, обязательно надо познакомиться с общепринятыми.