Речь не идёт о геометрии группы как многообразия, а о геометрии объекта, обладающего симметрией группы

. Я утверждаю, что этим объектом служит тор

, натянутый на сферу

.
Действительно, если под изоморфизмом тора, натянутого на сферу, понимать произвольную цепочку собственных движений тора и движений тора по сфере, то всякий такой изоморфизм может быть представлен некоторой конечной последовательностью движений

, где

-- произвольные элементы группы действительных унимодулярных ортогональных матриц

-го порядка

, с помощью которых мы вращаем тор по сфере вокруг точек

соответственно, при этом точка

совпадает с точкой

, а

-- произвольный элемент группы таких диагональных унимодулярных комплексных матриц

, что модули всех

диагональных элементов равны единице, с помощью которого мы сдвигаем центр тора

в точку

. А поскольку

и размерность связанного произведения групп

совпадает с размерностью группы

, то группа изоморфизмов тора, натянутого на сферу, совпадает с группой

. В качестве иллюстрации тора, натянутого на сферу, приведем следующее отображение тора

на сферу

:

где

.