Полнота рациональных чисел на отрезке.

[chem_victory]

Пусть в основу принята аксиому о непрерывности множества действительных чисел.
Т.е для каждых действительных чисел таких что, a<b найдется c, причем такой, что a<c<b
Что можно сказать о непрерывности рациональных чисел на отрезке [a,b]? существует ли в данном случае точка с, подобно тому как существует она в действительных числах?

Мне это нужно для того, чтобы обосновать что каждая рациональная точка на прямой является предельной, в этой связи существует подпоследовательность сходящаяся к данной точке. и таким образом по Гейне доказать отсутствие предела у ф. Дирихле.

[gris]

Вы как-то не так пересказали аксиому о непрерывности (полноте). Там ещё есть слова о некоторых множествах
Хотя Ваше утвержение и есть некий частный случай, когда каждое множество состоит из одного числа. Но сказано: "для любых".

[мат-ламер]

chem_victory в сообщении #671028 писал(а):

Пусть в основу принята аксиому о непрерывности множества действительных чисел.

В основу чего?

chem_victory в сообщении #671028 писал(а):

Т.е для каждых действительных чисел таких что, a<b найдется c, причем такой, что a<c<b

Где Вы выкопали такую формулировку аксиомы непрерывности?

[gris]

Вам вместо полноты надобна "всюду плотность".

[alcoholist]

chem_victory в сообщении #671028 писал(а):

каждая рациональная точка на прямой является предельной

$p+1/n\to p$

[gris]

Предлагаю и вторую нужную последовательность: $p+?/n\to p$
Кстати, упомянутое с первом сообщении свойство $\forall a,b\in A:\;a<b \;\exists c\in A:\; a<c<b$ отнюдь не гарантирует того, что любая точка в $A$ будет предельной.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Перенёс в соответствующий раздел

chem_victory, формулы оформляйте ТеХом. Инструкции здесь или здесь (или в этом видеоролике).

[chem_victory]

gris в сообщении #671052 писал(а):

Предлагаю и вторую нужную последовательность: $p+?/n\to p$
Кстати, упомянутое с первом сообщении свойство $\forall a,b\in A:\;a<b \;\exists c\in A:\; a<c<b$ отнюдь не гарантирует того, что любая точка в $A$ будет предельной.

Если $ A $ есть $ R$
То вроде должна бы быть.
Насколько я понял из вики(одно из предложений о полноте мн-ва может быть аксиомой, а все другие ее следствием, к примеру лемма Кантора о вложенных отрезках и аксиома непрерывности - есть эквивалент).
Благодарю всех за ответы.

[gris]

Множество всех действительных или рациональных чисел, как и другое всюду плотное множество, будет обладать указанным свойством, что между двумя числами обязательно лежит (в геом. смысле) другое число.
Но это свойство не является достаточным для непрерывности. Пример: $(-2,-1)\cup\{0\}\cup (1,2)$
Точка $0$ не предельная. Есть разрыв. Но свойство удовлетворяется.
Речь о том, что в аксиоме говорится о точке, разделяющей два множества. И неравенства там нестрогие.