Аксиомы отделимости Т1, Т2, Т3, Т4

[olenellus]

integral2009 в сообщении #670084 писал(а):

3) Топология стрелка $\mathbb{R}_{->}$, где $X=[0;+\infty)$, открытые множества имеют вид $(a;+\infty)\;\;\;\;a>0$

Мне кажется, что то, что в этом определении должно было быть $\forall a>0$, но квантор опущен, ввело Вас в заблуждение, и Вы посчитали, что $a$ фиксировано.

integral2009 в сообщении #670084 писал(а):

T1 не удовлетворяет, так как, если возьмем точки $x_1,x_2:\;x_2>x_1>a$, то обе точки имеют лишь одну окрестность $(a;+\infty)$

Не верно. См. замечание выше.

integral2009 в сообщении #670084 писал(а):

T2 не удовлетворяет, так как точки $a,b$ не имеют не пересекающиеся открытые окрестности, а имеют лишь одну окрестность $(a;+\infty)$

Не верно. См. замечание выше.

integral2009 в сообщении #670084 писал(а):

T3 - берем точку $x_1>a$ Открытое множество будет лишь одно $(a;+\infty)$

Не верно. См. замечание выше.

integral2009 в сообщении #670084 писал(а):

Замкнутое множество $(-\infty;a]$

Из какой шляпы Вы вытащили это так называемое замкнутое множество?

Кстати, от Вас впервые узнал название "топология стрелка". Как это читается? Топология стрелка или топология стрелка (как собака Стрелка)?

Про окрестности. Ну и является ли $X$ открытой окрестностью $X$?

[integral2009]

olenellus в сообщении #670544 писал(а):

Верно, но только если Вы понимаете, почему выполнение $T_1$ и невыполнение $T_2$ влечёт невыполнение $T_3$ и $T_4$.

В топологии Зарисского понимаю так:

Так как 2 точки не имеют непересекающихся окрестностей, то

Для $T_3$ точка и конечный набор точек тем более не имеют непересекающ. окрестностей

Для $T_4$ два конечных набора точек тем более не обладают непересекающ. окрестностями.

А в общем случае доказать вряд ли смогу.

-- Сб янв 12, 2013 05:05:27 --

olenellus в сообщении #670547 писал(а):

Мне кажется, что то, что в этом определении должно было быть $\forall a>0$, но квантор опущен, ввело Вас в заблуждение, и Вы посчитали, что $a$ фиксировано.

Да, там имеется ввиду $\forall a>0$. Читается стрЕлка.

-- Сб янв 12, 2013 05:09:59 --

olenellus в сообщении #670547 писал(а):

Из какой шляпы Вы вытащили это так называемое замкнутое множество?

Я имел ввиду, что если $(a;+\infty)$ -- открытое множество, то $\matbb{R}\backslash (a;+\infty)=(-\infty;a]$ -- замкнутое

[olenellus]

integral2009 в сообщении #670548 писал(а):

А в общем случае доказать вряд ли смогу.

Для этого надо доказать, что в $T_1$-пространствах любое одноточечное подмножество замкнуто.

-- Сб янв 12, 2013 03:14:13 --

integral2009 в сообщении #670548 писал(а):

Я имел ввиду, что если $(a;+\infty)$ -- открытое множество, то $\matbb{R}\backslash (a;+\infty)=(-\infty;a]$ -- замкнутое

А я думал, что замкнутым должно быть подмножество $X\backslash(a,+\infty)$, а $X$ у Вас это $[0,+\infty)$.

[integral2009]

olenellus в сообщении #670549 писал(а):

Для этого надо доказать, что в $T_1$-пространствах любое одноточечное подмножество замкнуто.

Пусть $(X,\Delta)$ - топологическое пространство, удовлетворяющее $T_1$.

(Скорее всего тут написан бред)

Пусть $(\{x_1,x_2\}, \Delta)$ - двухточечное подмножество с индуцированной топологией $(x_1,x_2\in X)$.
Так как $T_1$ наследственна, то $(\{x_1,x_2\}, \Delta)$ удовлетворяет $T_1$

Берем точку $x_1$ и окрестность точки $x_2$, а именно $U_{x_2}$. Тогда в $T_1$ у нас $\{x_1\}\cap U_{x_2}=\varnothing$

Так как $U_{x_2}$ - открыто, то $\{x_1\}$ замкнуто. Правильно?

olenellus в сообщении #670549 писал(а):

А я думал, что замкнутым должно быть подмножество $X\backslash(a,+\infty)$, а $X$ у Вас это $[0,+\infty)$.

Ой, замкнутое будет $[0;a)$

Ну а как доказывать для стрелки тогда, если $\forall a>0$?

[olenellus]

integral2009 в сообщении #670550 писал(а):

Правильно?

Не правильно. И не путайте уже объединение с пересечением.
Правильно будет, когда Вы проделаете то же самое для всех точек, отличных от $x_1$, а потом возьмёте объединение всех этих открытых множеств.

[integral2009]

(Оффтоп)

olenellus в сообщении #670552 писал(а):

Не правильно. И не путайте уже объединение с пересечением.

Это я путаю
\cup и \cap , шчень похожи они!
Я там подредактировал немного, но что-то чую, что добавил чушь еще

olenellus в сообщении #670552 писал(а):

Правильно будет, когда Вы проделаете то же самое для всех точек, отличных от $x_1$, а потом возьмёте объединение всех этих открытых множеств.

А, понял. Так как из определения топологии -- объединение открытых множеств открыто, то замкнутым множеством как раз останется точка $x_1$ как дополнение к открытому множеству.

[olenellus]

чушь не чушь, но добавление этот никак не поможет.

integral2009 в сообщении #670553 писал(а):

А, понял. Так как из определения топологии -- объединение открытых множеств открыто, то замкнутым множеством как раз останется точка как дополнение к открытому множеству.

Да.

-- Сб янв 12, 2013 03:37:58 --

integral2009 в сообщении #670550 писал(а):

Ой, замкнутое будет $[0;a)$

[integral2009]

Виноват) $[0;a]$. А как все-таки быть со стрелкой)

(Оффтоп)

пока что не осознал смысл картинки

[olenellus]

(Оффтоп)

integral2009 в сообщении #670557 писал(а):

пока что не осознал смысл картинки

Решетников "Опять двойка".

[integral2009]

xmaister в сообщении #670097 писал(а):

integral2009 в сообщении #670084 писал(а):

3) Топология стрелка $\mathbb{R}_{->}$, где $X=[0;+\infty)$, открытые множества имеют вид $(a;+\infty)\;\;\;\;a>0$

А в книжке Виро, Нецветаев, прочитал, что стрелка удовлетворяет $T_4$

-- Вс янв 13, 2013 03:21:09 --

Попробую проверить $T_3$ для антидискретной топологии.

Возьмем произвольную точку $x\in X$. В этой топологии существует лишь одно замкнутое множество, в котором не содержится точка $x$, а именно $\varnothing$. Тогда $x$ имеет окрестность $X $, а $\varnothing$ имеет окрестность $\varnothing$. Пересечение пусто, значит аксиома $T_3$ для антидискретной топологии выполнена.

Проверим $T_4$ для антидискретной топологии, в которой есть только $2$ замкнутых непресек. множества -- $X$ и $\varnothing$. Можно взять в качестве окрестности $X$ - само $X$, а в качестве окрестности $\varnothing$ - само $\varnothing$ Пересечение пусто, значит аксиома $T_4$ для антидискретной топологии выполнена.

Тонкий момент:
Если множество $A$ открыто, то можно ли считать, что окрестностью множества $A$ является само множество $A$? (это я все думаю про $T_4$ для антидискретной топологии)

Окрестностью множества $M \subset X$ называется такое множество $V \subset X$, что существует открытое множество $U\in \mathcal{T}$, для которого выполнено $M \subset U \subset V$

Вроде как это частный случай, когда $M = U = V$? Ведь равенство -- это включение в обе стороны.

[integral2009]

А как проверять $T_3$ и $T_4$ для дискретного пространства? Какие окретсности замкнутых множеств можно взять? (что-то я повторился про антидискретное немного, простите, пожалуйста)

[xmaister]

integral2009 в сообщении #670955 писал(а):

А как проверять $T_3$ и $T_4$ для дискретного пространства? Какие окретсности замкнутых множеств можно взять?

Их же и берите.

[integral2009]

xmaister в сообщении #670963 писал(а):

integral2009 в сообщении #670955 писал(а):

А как проверять $T_3$ и $T_4$ для дискретного пространства? Какие окретсности замкнутых множеств можно взять?

Их же и берите.

Спасибо! В смысле "их же"? То есть эти же замкнутые множества в качестве окрестностей, так как они все открыты??
Я думаю, что $T_3$ выполняется для дискр. топологии, так как там только два замкнутых множества -- пустое множество и $X$. А пересечение $A\cap \varnothing=\varnothig$

А $T_4$ тоже выполняется, так как $X\cap\varnothing=\varnothing$

Ух, теперь с топологией стрелки разобрался!

$T_4$ В данной топологии два множества не пересекаются $<=>$ из них пустое, для пустого множества выполнение условия очевидно, так как окрестность пустого множества - пустое множество, значит пересечение пусто, таким образом стрелка удовлетворяет $T_4$

$T_3$ Берем точку $x_1>0$. Замкнутое множество, не содержащее эту точку - это $[0;a]$, где $a<x_1$ Окрестность любого непустого замкнутого множества только одна -- открытое множество $X=[0;+\infty)$ в топологии стрелки. Окрестность точки $x_1$ - это $(a;+\infty)$, которая пересекается c $X$, тогда стрелка не удовлетворяет $T_3$

[integral2009]

С дискретной топологией разобрался, спасибо! Только вот с метрической не получается... Верно ли там проверены $T_1$ и $T_2$ на первой страничке? А как проверять $T_3$ и $T_4$. Какая там окрестность у замкнутого множества? Ведь замкнутые множества будут иметь вид $\mathbb{R}^2\backslash B_r(a)$, где $B_r(a)=\{(x,y)|\rho(x,y)<r\}$

$\mathbb{R}^2\backslash B_r(a)=\{(x,y)|\rho(x,y)\geqslant r\}$

[olenellus]

integral2009 в сообщении #670966 писал(а):

... для дискр. топологии, так как там только два замкнутых множества -- пустое множество и $X$.

Это не верно. Разберитесь наконец с дискретной топлогией! Какие множества в ней замкнуты, а какие открыты?

Про стрелку — правильно.

integral2009 в сообщении #671194 писал(а):

Только вот с метрической не получается... Верно ли там проверены $T_1$ и $T_2$ на первой страничке?

Верно.

integral2009 в сообщении #671194 писал(а):

А как проверять $T_3$ и $T_4$. Какая там окрестность у замкнутого множества? Ведь замкнутые множества будут иметь вид $\mathbb{R}^2\backslash B_r(a)$, где $B_r(a)=\{(x,y)|\rho(x,y)<r\}$

$\mathbb{R}^2\backslash B_r(a)=\{(x,y)|\rho(x,y)\geqslant r\}$

Ну вот, например, множество $\{0\}$ будет замкнуто или открыто, или ни то ни сё? А ведь из того, что $\mathbb{R}$ удовлетворяет $T_1$, следует, что это множество замкнуто. Значит, Вы нашли не все замкнутые множетсва. Более того, вы нашли и не все октрытые. Открытые шары — это только база топологии.