Аксиомы отделимости Т1, Т2, Т3, Т4

[integral2009]

olenellus в сообщении #671363 писал(а):

Это не верно. Разберитесь наконец с дискретной топлогией! Какие множества в ней замкнуты, а какие открыты?

Все -- и замкнуты и открыты.

olenellus в сообщении #671363 писал(а):

$\mathbb{R}^2\backslash B_r(a)=\{(x,y)|\rho(x,y)\geqslant r\}$
Ну вот, например, множество $\{0\}$ будет замкнуто или открыто, или ни то ни сё? А ведь из того, что $\mathbb{R}$ удовлетворяет $T_1$, следует, что это множество замкнуто. Значит, Вы нашли не все замкнутые множетсва. Более того, вы нашли и не все октрытые. Открытые шары — это только база топологии.

Да, еще объединение открытых шаров - открыто и объединение конечного числа дополнений к открытым шарам - замкнуто.

[integral2009]

$T_3$

Берем произвольную точку $a=(x_0,y_0)$ и ее окрестность $x\in B_r(a)=\{(x,y)|\rho(x,y)< r\}$

Пусть $b=(x_0+10r, y_0+10r)$

Возьмем замкнутый шар $D_r(b)=\{(x,y)|\rho(x,y)\leqslant r\}$, а в качестве его окрестности $B_{r+\varepsilon}(b)=\{(x,y)|\rho(x,y)< r+\varepsilon\}$.

Понятно, что $B_{r+\varepsilon}(b)\cap B_r(a)=\varnothing$

А вот для любой точки и любого замкнутого множества - уже сложнее...