Выпуклый конус в нормированном пространстве

[Mikhail Sokolov]

Помогите, пожалуйста, доказать (или опровергнуть) следующее утверждение.

Пусть $K \neq V$ - замкнутый выпуклый конус ($K+K=K$, $\alpha K \subseteq K$ для любого $\alpha \geq 0$) в вещественном нормированном пространстве $V$, обладающий следующим свойством: $-K \cup K = V$. Тогда подпространство $-K \cap K$ имеет коразмерность 1.

Спасибо.

[мат-ламер]

Контрпример: $K=V$.

[Mikhail Sokolov]

Спасибо, исправил условие.

[мат-ламер]

Пусть $K$ - конус в $R^3$, состоящий из точек $z>0$ и точек $z=0, y\ge 0$. Тогда $-K\cap K$ это прямая $z=0,y=0$.

[ewert]

мат-ламер в сообщении #670622 писал(а):

Пусть $K$ - конус в $R^3$,

Ну зачем же чуть что, так сразу и $\mathbb R^3$. Хватило бы и $\mathbb R^2$. Только вот незамкнуто получается.

[мат-ламер]

ewert в сообщении #670628 писал(а):

Только вот незамкнуто получается.

А про замкнутость я совсем забыл. Допустим пространство гильбертово. Может попробовать доказать, что конус $K$ - это замкнутое полупростанство, т.е. совокупность точек $(a,x)\ge 0$ для некоторого $a$.

-- Сб янв 12, 2013 12:58:53 --

Это не так. Пусть $K$ - это замкнутое множество из первой и третьей четверти в двумерном пространстве.

-- Сб янв 12, 2013 13:00:47 --

Однако конус по условию должен быть замкнут относительно сложения (выпуклость).
Тогда, наверное, так (т.е. полупространство замкнутое).

[ewert]

Мне лень думать, но попробовал бы я так. Фиксируем любую внутреннюю точку конуса. Проводим произвольную двумерную плоскость через эту точку и вершину конуса; в этой плоскости пересечением будет, очевидно, некоторая прямая. И пользуясь выпуклостью конуса, как-то доказываем, что объединение всех таких прямых есть подпространство (вот именно тут лень). Тогда единичная коразмерность этого подпространства очевидна.

[Mikhail Sokolov]

Попытка доказательства. Проверьте, пожалуйста.
Обозначим $X=-K \cap K$. Пусть $y \in K \setminus X$. Требуется доказать, что $X+ \mathbb R y=V$.
Покажем, что для любого $v \in V$ существует одна из граней $\inf \left\{\beta \in \mathbb R : v+\beta y \in K \right\}$ и $\sup \left\{\beta \in \mathbb R : v+\beta y \in K \right\}$. Действительно, если обе не существуют, то $v+\beta y \in K$ для любого $\beta \in \mathbb R$. Тогда, $v/n+y \in K$ и $v/n-y \in K$ при любом $n$. Откуда, в силу замкнутости $K$, следует $y \in X$ (противоречие). Обозначим существующую грань за $\alpha$. Тогда $v+\alpha y \in \partial K$. Но, поскольку $K$ замкнуто и $-K \cup K =V$, то $\partial K = X$.

[ewert]

Можно, я не буду проверять, а попытаюсь реанимировать свою попытку? А то у Вас там инфимумы какие-то, супремумы...

По моему, там всё достаточно просто. Считаем очевидным, что выпуклость, конусность и замкнутость сохраняются при минусовании; и что они же сохраняются при пересечении подобных объектов. Итого: $-K\cap K$ -- это выпуклый замкнутый конус. Конусность в совокупности с выпуклостью означают его замкнутость относительно сложений и умножений на неотрицательные числа, и при том конкретно это множество, очевидно, замкнуто относительно умножений на минус единицу. Т.е. есть замкнутость относительно вообще любых линейных операций, т.е. это -- воистину подпространство. Хорошо.

Теперь насчёт коразмерности -- вот как раз по двумерным плоскостям. Фиксируем любой элемент $\vec a$, не входящий в пересечение $-K\cap K$ (он существуют хотя бы потому, что исходный конус не совпадает со всем пространством). Для любого $\vec x$, не пропорционального $\vec a$, рассмотрим линейную оболочку этих двух векторов. Её пересечение с $-K\cap K$ -- это некоторое собственное подпространство той линейной оболочки, т.е. некоторая прямая. Тогда очевидно, что $\vec x$ представляется в виде линейной комбинации вектора $\vec a$ и некоторого вектора, принадлежащего той прямой и тем самым принадлежащего $-K\cap K$. Это и означает, что всё пространство является прямой суммой $-K\cap K$ и одномерного подпространства, натянутого на $\vec a$.