принцип Даламбера-Лагранжа в обобщенных координатах

[Oleg Zubelevich]

Рассмотрим механическую систему с идеальными связями, которая полностью задается обобщенными координатами $q=(q^1,\ldots,q^m)$ и описывается лагранжианом $L(t,q,\dot q)$. Кроме того, имеются дополнительные связи (возможно неголономные)

$$a_i^j(t,q)\dot q^i+b^j(t,q)=0,\quad j=1,\ldots, n<m.\qquad (*)$$

Ранг матрицы $a_i^j$ всюду максимален. По определению $m-n$ это число степеней свободы системы.
Действительные движения системы $q(t)$ в любой момент времени удовлетворяют уравнению Даламбера-Лагранжа:

$$\Big(\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q^s}(t,q(t),\dot q(t))-\frac{\partial L}{\partial q^s}(t,q(t),\dot q(t))\Big)\delta q^s(t)=0,$$

последнее равенство выполнено для любого $\delta q(t)=(\delta q^1,\ldots,\delta q^m)(t)$ -- удовлетворяющего системе

$$a_i^j(t,q(t))\delta q^i(t)=0.$$

Множество векторов $\delta q=(\delta q^1,\ldots,\delta q^m)$ удовлетворяющих $a_i^j(t,q)\delta q^i=0$ называется пространством виртуальных перемещений в точке $(t,q)$.

С помощью topic53395.html получаем уравнения Лагранжа со множителями:

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q^s}-\frac{\partial L}{\partial q^s}=\lambda_l a^l_s.\qquad (**)$$

Поскольку матрца вторых частных производных $L$ по $\dot q$ невырождена, то множители Лагранжа находятся в явном виде $\lambda=\lambda(t,q,\dot q)$ и исключаются из системы (*)-(**), а сама система приводится к нормальной форме Коши.

[Oleg Zubelevich]

Теорема Нетер.

Пусть $L=L(q,\dot q),\quad b^j=0,\quad a_i^j=a_i^j(q).$ Рассмотрим однопараметрическое семейство преобразований конфигурационного пространства $q\mapsto g(q,s),\quad s\in\mathbb{R},\quad g(q,0)=q.$

Предположим, что
1)

$$a_i^j(q)\frac{\partial }{\partial s}\Big|_{s=0}g^i(q,s)=0$$

2)

$$L(q,\dot q)=L\Big(g(q,s),\frac{\partial g(q,s)}{\partial q^i}\dot q^i\Big)$$

второе равенство выполнено для всех $s$ из окрестности нуля.

Тогда функция

$$f(q,\dot q)=\frac{\partial L}{\partial \dot q^i}(q,\dot q)\frac{\partial }{\partial s}\Big|_{s=0}g^i(q,s)$$

является интегралом уравнений движения.

Вариационного принципа нет, а теорема Нетер есть

[eugrita]

Олег, а можно о Лагранжиане подробнее. т.е. на уровне большинства стандартных задач теор.меха. обычно без учета трения и 1-2 степенями свободы $L=L(\dot{q}_1)$, $L=L(\dot{q}_1,\dot{q}_2)$
ну бывает, учитывают трение при скольжении по наклонной плоскости, тогда
$L=L(\dot{q}_1,q_1)$
а вот более нестандартные применения уравнений Лагранжа в физике
(вроде где-то даже в газовой динамике ).
Ну модели с неголономными связи для большинства редкость - по-моему в робототехнике...

[Oleg Zubelevich]

eugrita в сообщении #670521 писал(а):

Олег, а можно о Лагранжиане подробнее. т.е. на уровне большинства стандартных задач теор.меха. обычно без учета трения и 1-2 степенями свободы $L=L(\dot{q}_1)$, $L=L(\dot{q}_1,\dot{q}_2)$

нет конечно, возьмите двойной маятник в поле силы тяжести , там лагранжиан зависит от всех переменных зависит

eugrita в сообщении #670521 писал(а):

Ну модели с неголономными связи для большинства редкость - по-моему в робототехнике...

неголономных задач много, эффекты красивые...

[Oleg Zubelevich]

Общие теоремы динамики.

Лагранжев формализм позволяет придать наиболее законченную форму общим теоремам динамики.

Теорема 1. Пусть система находится под действием непотенциальных, вообще говоря, сил т.е. вмето уравнений (**) имеем:

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial \dot q^s}-\frac{\partial T}{\partial q^s}=Q_s(t,q,\dot q)+\lambda_l a^l_s.$$

Предположим, что система как единое целое допускает перемещение вдоль координаты $q^1:$

$$\frac{\partial T}{\partial q^1}=0,\quad a^j_1=0$$

тогда будет

$$\dot p_1=Q_1,\quad p_1=\frac{\partial T}{\partial \dot q^1}.$$

Теорема 2. Предположим, что $b^j=0$ и лагранжиан $L$ в формуле (**) не зависит от времени. Тогда уравнения движения допускают интеграл энергии

$$H=\frac{\partial L}{\partial \dot q^s}\dot q^s-L.$$