Численное решение не сходится при уменьшении шага сетки

[Zhenia]

Здравствуйте, коллеги!

Стокнулся вот с какой проблемой.

Решаю численно задачу для нестационарной эйлеровой гидрогазодинамики (т.е. среда сжимаемая, но невязкая; основных уравнений три: закон сохрания вещества, импульса и энергии). Задача решается в одномерной плоскопараллельной геометрии, граничные условия - твердая стенка.

В системе есть источник энергии, который нелинейно зависит от динамических переменных (плотность, скорость, удельная плотность энергии, давление).

Для решения данной задачи я использую явную конечно-разностную схему, которая строится методом Куранта-Изаксона-Риса (для построения численного решения используется приближенное решение задачи о распади гидродинамического разрыва). Условие устойчивости выполняется (для него приходится вводить адаптивный шаг по времени). Вся идея была взята из этой книги http://lib.mexmat.ru/books/9289.

Проблема следующая. При уменьшении шага сетки решение меняется. То есть оно не сходится к какому-то конкретному профилю. Если говорить немного точнее, то в структуре решения есть две волны: сжатия (ударная) и разрежения. При уменьшении шага сетки амплитуда (по плотности) ударной волны падает, амплитуда волны разрежения растет. Шаг сетки раздробил уже так, что задача считается полдня на четвертом пентиуме (это для одномерной задачи!) и все равно решение не фиксируется.

Найти аналитическое точное решение здесь не могу - нелинейный источник мешает. Если его убрать, все нормально сходится, но без него и задачи нет.

Знакомые научные сотрудники говорят слова про "жесткость", "плохую обусловленность", и про "перекачку энергии из одних мод в другие", но конкретного способа регуляризации или оптимизации вычислений никто не предлагает...

Друзья, если кто-то из вас сталкивался с подобными проблемами и может помочь с личным опытом или может дать ссылку на литературный источник (книга или статья), то буду весьма признателен.

Всем спасибо!

[Zai]

Насколько я понял у Вас источник энергии. Энергию нельзя закачивать только в одну ячейку без явного выделения разрыва. Также ее нельзя закачивать мгновенно, нужно хотя бы три шага по времени. Ударные волны размазывают по нескольким ячейкам сетки, чтобы разрыв не портил аппроксимацию алгебраических соотношений конечно-разностной схемы, и это известно со времен Неймана. Критерия ограниченности подкачки энергии по времени я на знаю. Есть аналитическое решение по детонационной волне, попробуйте порешать его.

[Zhenia]

Zai, не могли бы Вы приветси ссылки на статьи или монографии?

К сожалению, у меня не совсем детонация. Ситуация такова, что в моей задаче детонационная волна не может образоваться: скорость звука в невозмущенной среде превосходит скорость фронта энерговыделения. Хорошую аналитику мне удалось найти только для сверхзвуковой области, а у меня как раз "дозвук". Может быть, Вы знаете источник литературы, где аналитика для детонационных волн разбирается более подробно?

Спасибо!

[Zai]

Параграфы 129,130 по описанию волн в книге landau_l_d___lifshic_e_m__gidrodinamika__t_6.djvu
С дозвуком аналитическое решение можно построить, если решать волновое уравнение с постоянной скоростью звука. Это фактически когда энерговыделение очень мало и его можно заменить адиабатическим увеличением давления.

[Zhenia]

Увы, Zai,

Результаты Ландафшица сильно завязаны на идеальный газ и при этом они абсолютно не учитывают кинетику горения, которая в моей задаче имеет принципиальное значение (тот самый нелинейный источник).

Точное решение для стационарной детонационной волны строил и схема его выдает, но при этом необходимо скорость звука в невозмущенной среде силком занулить (то есть выкинуть важный член из уравнения состояния), то есть уйти от задачи. Скорость фронта горения в данной среде меньше невозмущеной скорости звука, то есть существование ударных (как и детонационных) волн не выполнено.

Пренебречь энерговыделением (то есть рассмотреть адиабатический случай) не могу - без этого опять не будет задачи. При тестировании схемы делал расчет адиабатического случая - там все сходится к теории.

Моя проблема как регуляризовть разностную схему, чтобы она корректно обрабатывала мощный нелинейный источник (почему-то етсь у меня такое глубокое убеждение, что это он все портит; без него все сходится к теории)

Спасибо за Ваши предложения

[Comga]

Попробуйте на фиксированной сетке посмотреть будет ли сходимость при стремлении шага по времени к нулю. Вообще говоря, горение приводит к сильным ограничениям на шаг по времени и по пространству. Регулиризацией может быть введение вязкости.

[Zhenia]

Comga писал(а):

Попробуйте на фиксированной сетке посмотреть будет ли сходимость при стремлении шага по времени к нулю.

Проверил. При стремлении шага по времени к нулю на фиксированной пространственной сетке сходимость имеется. Заметное изменение решения происходит именно при варьировании пространственного шага.

Comga писал(а):

Вообще говоря, горение приводит к сильным ограничениям на шаг по времени и по пространству. Регулиризацией может быть введение вязкости.

Comga, не могли бы Вы рассказать подробнее или сослаться на какие-нибудь источники литературы?

[Comga]

[Comga, не могли бы Вы рассказать подробнее или сослаться на какие-нибудь источники литературы?[/quote]
П. Роуч. Вычислительная гидродинамика. 1980.
Полистайте "Математическое моделирование"

[Someone]

Zhenia писал(а):

При стремлении шага по времени к нулю на фиксированной пространственной сетке сходимость имеется. Заметное изменение решения происходит именно при варьировании пространственного шага.

Может быть, шаги по времени и по пространству должны стремиться к нулю согласованно? Например, $h_t\sim h_x^2$.
Где-то я подобную ситуацию встречал, но сейчас не помню, где.

[Zhenia]

Друзья!

Всем спасибо! Кажется, причина проблемы найдена.

Детальный анализ проблемы показал следующее. Выбранная мной зависимость для давления как функции плотности и температуры приводила к тому, что в определенном участке расчетной области давление выходило на довольно хитрый профиль. Чем точнее этот профиль обсчитываешь, тем (за счет выбранной функции!) более гладким он становится. Нет градиента давления - нет движения. Таким образом, тот участок расчетной области, где происходит это безобразие, начинает перегреваться... Отсюда и изменение профиля численного решения.

В самом начале сказал "кажется", потому, что еще другую зависимость не проверил.

Someone писал(а):

Может быть, шаги по времени и по пространству должны стремиться к нулю согласованно?

Теория говорит, что для моей разностной схемы должны стремится к нулю пропорционально друг другу.