Связность, линейная связность.

[xmaister]

integral2009 в сообщении #668698 писал(а):

Функция, сопоставляющая каждому элементу $s\in S$ элемент множества $X_s$.

Правильно. Теперь надо разобраться с тем, как строится тихоновская топология. Для этого рассмотрим множество $X$, семейство множеств $\mathcal{A}=\{X_s|s\in S\}$ и семейство отображений $\mathcal{B}=\{f_s:X\to X_s|s\in S\}$. Положим, что на каждом из $X_s$ определена некоторая топология $\tau_s$. Надо найти топологию $\tau$ на $X$, относительно которой все $f_s:X\to X_s$- непрерывны и такую, что для всякой топологии $\tau '$, относительно которой всякое $f_s:X\to X_s$- непрерывно будет $\tau\subset\tau '$ (Иными словами, нужно найти наименьшую топологию, т.ч....). Семейство таких топологий не пусто (мы всегда можем взять дискретную).

P.S. Надеюсь, я Вас не слишком сильно запутал своими рассуждениями.

[integral2009]

xmaister в сообщении #668697 писал(а):

$x=\frac{a-x_1}{x_2-x_1}+\delta,0<\delta<1$. Значит $f(x)=a+f(\delta)>a$

Я пока что не понял -- почему значит, что $f(x)=a+f(\delta)$
Чтобы не потерять нить -- это мы пытаемся явно доказать линейную связность $\mathbb{R}_{->}$

xmaister в сообщении #668695 писал(а):

Потому что я так определил отображение $\mathrm{id}: (0,1)\to (0,1)\cup (2,3)$. Тождественное вложение означает, что $x\mapsto x$, для всякого $x\in (0,1)$. Теперь воспользуемся определением. Пусть $f:X\to Y$- отображение произвольных множеств $X$ в $Y$ и $A\subset Y$. Тогда по определению $x\in f^{-1}(A)\Leftrightarrow f(x)\in A$. Это условие определяет совокупость элементов, являющееся подмножеством мноежства $X$ и обзываемое полным прообразом $A$.

Спасибо, теперь это ясно)

xmaister в сообщении #668700 писал(а):

и такую, что для всякой топологии $\tau '$, относительно которой всякое $f_s:X\to X_s$- непрерывно будет $\tau\subset\tau '$ (Иными словами, нужно найти наименьшую топологию, т.ч....). Семейство таких топологий не пусто (мы всегда можем взять дискретную).

P.S. Надеюсь, я Вас не слишком сильно запутал своими рассуждениями.

Не, я не запутался, только вот не понимаю - зачем нам наименьшая топология?

[xmaister]

integral2009 в сообщении #669047 писал(а):

Чтобы не потерять нить -- это мы пытаемся явно доказать линейную связность $\mathbb{R}_{->}$

Да, это и доказываем.

integral2009 в сообщении #669047 писал(а):

Я пока что не понял -- почему значит, что $f(x)=a+f(\delta)$

Надо доказать, что полный прообраз $f^{-1}(a,\infty)=\left(\frac{a-x_1}{x_2-x_1},1\right]$ при $a\in (x_1,x_2)$. Для этого достаточно (и необходимо, очевидно) доказать 2 вложения $f^{-1}(a,\infty)\subset\left(\frac{a-x_1}{x_2-x_1},1\right]$ и $\left(\frac{a-x_1}{x_2-x_1},1\right]\subset f^{-1}(a,\infty)$. Рассмотрим $x\in \left(\frac{a-x_1}{x_2-x_1},1\right]$, тогда существует $0<\delta <1$, т.ч. $x=\frac{a-x_1}{x_2-x_1}+\delta$. Откуда $f(x)=a+f(\delta)\in (a,\infty)$. А $x\in f^{-1}(a,\infty)\Leftrightarrow f(x)\in (a,\infty)$. Тем самым доказано, что $x\in \left(\frac{a-x_1}{x_2-x_1},1\right]\Rightarrow x\in f^{-1}(a,\infty)$. А это по определению означает, что $\left(\frac{a-x_1}{x_2-x_1},1\right]\subset f^{-1}(a,\infty)$. Включение в обратную сторону докажите самостоятельно.

integral2009 в сообщении #669047 писал(а):

Не, я не запутался, только вот не понимаю - зачем нам наименьшая топология?

Это, в некотором смысле, естественная топология.

[integral2009]

Спасибо, в очередной раз

Остается доказать, что $f^{-1}(a,\infty)\subset\left(\frac{a-x_1}{x_2-x_1},1\right]$ А можно ли так? Рассмотрим $x\in f^{-1}(a,\infty)$

$x\in f^{-1}(a,\infty)\Leftrightarrow f(x)\in (a,\infty)$ Пусть $f(x)=x_1+(x_2-x_1)x\;\;\;\;\;\;\;x_2>x_1$

$a<x_1+(x_2-x_1)x<+\infty\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;a-x_1<(x_2-x_1)x<+\infty$

$\dfrac{a-x_1}{x_2-x_1}<x<+\infty\;\;\;\;\Rightarrow\;\;\;\;\;x\in \left(\frac{a-x_1}{x_2-x_1},1\right]$ (одной из следствий)

Тогда из $x\in f^{-1}(a,\infty) \Rightarrow x\in \left(\frac{a-x_1}{x_2-x_1},1\right]$ чтд

А разве нельзя задать на $\mathbb{R}^2$ просто обычную метрическую топологию, где открытыми множествами будут шары? Я только-только начал изучать топологию и пока что Тихоновская топология кажется суровой. Я понял -- что это, но боюсь доказательство связности и линейной связности будет сложным или нет?

[xmaister]

integral2009 в сообщении #669582 писал(а):

Рассмотрим $x\in f^{-1}(a,\infty)$

$x\in f^{-1}(a,\infty)\Leftrightarrow f(x)\in (a,\infty)$

Пусть $f(x)=x_1+(x_2-x_1)x\;\;\;\;\;\;\;x_2>x_1$

$a<x_1+(x_2-x_1)x<+\infty$

$a-x_1<(x_2-x_1)x<+\infty$

$\dfrac{a-x_1}{x_2-x_1}<x<+\infty\;\;\;\;\Rightarrow\;\;\;\;\;x\in \left(\frac{a-x_1}{x_2-x_1},1\right]$ (одной из следствий)

Тогда из $x\in f^{-1}(a,\infty) \Rightarrow x\in \left(\frac{a-x_1}{x_2-x_1},1\right]$

Правильно. Только будьте по аккуратнее с $+\infty$. Такого элемента нет на $\mathbb{R}$. Аксиматика не допускает.

integral2009 в сообщении #669582 писал(а):

А разве нельзя задать на $\mathbb{R}^2$ просто обычную метрическую топологию, где открытыми множествами будут шары? Я только-только начал изучать топологию и пока что Тихоновская топология кажется суровой. Я понял -- что это, но боюсь доказательство связности и линейной связности будет сложным или нет?

Можно, конечно. Я это к тому, что эти топологии (Тихоновская и метрическая) будут совпадать.

-- 10.01.2013, 05:03 --

integral2009 в сообщении #669582 писал(а):

$x\in f^{-1}(a,\infty)\Leftrightarrow f(x)\in (a,\infty)$

Чуть не забыл. Т.к. отображение рассматривается $f:[0,1]\to [0,\infty)$, то
$x\in f^{-1}(a,\infty)\Leftrightarrow f(x)\in (a,\infty)\wedge x\in [0,1]$. Это по определению так. Вообще $f:X\to Y,A\subset Y$, то по определению $x\in f^{-1}(A)\Leftrightarrow f(x)\in A\wedge x\in X$. Т.е. отображение жестко завязано на свои область определения и область значения.

[integral2009]

xmaister в сообщении #669583 писал(а):

Чуть не забыл. Т.к. отображение рассматривается $f:[0,1]\to [0,\infty)$, то
$x\in f^{-1}(a,\infty)\Leftrightarrow f(x)\in (a,\infty)\wedge x\in [0,1]$. Это по определению так. Вообще $f:X\to Y,A\subset Y$, то по определению $x\in f^{-1}(A)\Leftrightarrow f(x)\in A\wedge x\in X$. Т.е. отображение жестко завязано на свои область определения и область значения.

Это в том смысле, что область определения функции при обратном отображении сохраняется?

xmaister в сообщении #669583 писал(а):

Можно, конечно. Я это к тому, что эти топологии (Тихоновская и метрическая) будут совпадать.

Ммм, то есть в Тихоновской топологии $\mathbb{R}\times \mathbb{R}$ будут проекции на $\mathbb{R}$, на котором будет задана метрическая топология, а линейная связность метрической топологии на $\mathbb{R}$ очевидна?

Какт теперь лучше доказывать?

[xmaister]

Не совсем так. Исходными данным для нас является отображение $f: X\to Y$. Оно в себя включает область определения ($X$), область значения ($Y$) и график отображения $G_f$- это, грубо говоря и есть то соотвествие (кажому $x\in X$ соотвествует определнный $y\in Y$). При этом отображения $\mathrm{id}: (0,1)\to (0,1)$ и $\mathrm{id}: (0,1)\to (0,1)\cup (2,3)$ считаются различными (область значения отличается), хотя графики совпадают. Формально говоря отображение $f: X\to Y$ эо упорядлченная тройка $(X,G_f, Y)$. При этом обратного отображения может не существовать (кстати, можете сформулировать определение обратного отображения к $f:X\to Y$, если оно существует). А $f^{-1}(A),A\subset Y$-
это полный прообраз множества $A$- подмножество $X$ множество, которые мы построили ясно как.

[integral2009]

xmaister в сообщении #669586 писал(а):

(кстати, можете сформулировать определение обратного отображения к $f:X\to Y$, если оно существует).

Отображение $f^{-1}: Y\to X$ является обратным, если

$f(f^{-1}(y))=y=\operatorname{id}_Y\;\;\;\forall y\in Y\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;f^{-1}(f(x))=x=\operatorname{id}_X\;\;\;\;\;\forall x\in X$

[xmaister]

Да. Несложно доказать, что обратное сузествует $\iff$ $f$- биекция. Т.е. его вполне может и не существовать.

[integral2009]

xmaister в сообщении #669588 писал(а):

Да. Несложно доказать, что обратное сузествует $\iff$ $f$- биекция. Т.е. его вполне может и не существовать.

Ну да, понимаю, например, $y=x^2,\;\text{при}\;\;x\in \mathbb{R}$ сюрьективно, но не иньективно, потому не имеет обратного

[xmaister]

integral2009 в сообщении #669584 писал(а):

Ммм, то есть в Тихоновской топологии $\mathbb{R}\times \mathbb{R}$ будут проекции на $\mathbb{R}$, на котором будет задана метрическая топология, а линейная связность метрической топологии на $\mathbb{R}$ очевидна?

Да. Отображение строится просто. Но чтобы из линейной связности следовала связность сначало нужно доказать связность отрезка.

[integral2009]

То есть вы намекаете на то, что проекции в Тихоновском произведении должны быть взаимно-однозначными?

[xmaister]

integral2009 в сообщении #669593 писал(а):

То есть вы намекаете на то, что проекции в Тихоновском произведении должны быть взаимно-однозначными?

Нет, они не взаимно однозначны. Они непрерывны относительно тихоновской топологии, которая наименьшая из всех топологий относительно которой проекции непрерывны.

[integral2009]

xmaister в сообщении #669592 писал(а):

Но чтобы из линейной связности следовала связность сначало нужно доказать связность отрезка.

Ок, попробую доказать линейную связность отрезка. Пусть $x_1,x_2\in\mathbb{R}$ и $x_2>x_1$ для определенности. Попробуем найти непрерывное отображение $f:[0,1] \to \mathbb{R}$, такое, чтобы $f(0) = x_1\;\;\;\;f(1) = x_2$

-- Чт янв 10, 2013 05:38:14 --

По-моему можно вновь взять $f(x)=x_1+(x_2-x_1)x$

[xmaister]

integral2009 в сообщении #669595 писал(а):

Ок, попробую доказать линейную связность отрезка. Пусть $x_1,x_2\in\mathbb{R}$ и $x_2>x_1$ для определенности. Попробуем найти непрерывное отображение $f:[0,1] \to \mathbb{R}$, такое, чтобы $f(0) = x_1\;\;\;\;f(1) = x_2$

Нет, я имел ввиду доказать связность отрезка. Не линейную, а "простую" связность.

-- 10.01.2013, 05:39 --

integral2009 в сообщении #669595 писал(а):

По-моему можно вновь взять $f(x)=x_1+(x_2-x_1)x$

Да, для доказательства линейной связности это подойдет.