Задача о векторах и линейном преобразовании

[Мироника]

По заданным векторам $a=2i+j-k, b=-i+3j, c=i+j+k$ трехмерного пространства с помощью скалярного, векторного или смешанного произведения определено линейное реобразование $y=Ax$
1) Найти матрицу этого преобразования в базисе $i, j, k$
2) С помощью найденной матрицы по координатам заданного вектора $u$ определить координаты его образа $v=Au$

$Ax=-(acx)b+2x$
$u=(6,0,2)$

Для начала я не пойму что такое $x$, ведь $(acx)$ - это же дложно быть смешанное произведение? Но как в определителе записать последнюю строчку для $x$?

[Geckelberryfinn]

x- по моему беглому взгляду кажется как вектор. Смешанное произведение записывается как определитель матрицы, составленной из координат всех векторов записанных построчно.
В данном случае, как мне понялось, вместо x необходимо подставить u и по формуле, которая определяет оператор A получить образ u,т.е. v

[Мироника]

Да, спасибо, я поняла.
А как же
1) Найти матрицу этого преобразования в базисе $i, j, k$ ?

[Geckelberryfinn]

видимо имеется в виду следующее: посколько векторы a,b,c записаны в базисе i j k, то требуется просто проделать те вычисления, которые определяют оператор A (а вместо координат вектора x=(x_i,x_j,x_k). Таким образом, получится матрица оператора

[Мироника]

Я так и пробовала, но в $Ax=-(acx)b+2x$ получается $(acx)=3x_i+x_j+7x_k$ и это вроде как число, тогда умножим его на вектор $b$ (то есть $(acx)b$) получим вектор, потом добавим минус $-(acx)b$ и прибавим $2x$. Таким образом, получаем новый ВЕКТОР. А где же долгожданная матрица? Может в моих рассуждениях есть ошибка?

[Geckelberryfinn]

Нет, ошибок нет (вычислительные если только - не проверял). Ну вот смотрите, был вектор X_0=(x_i,x_k,x_j), а стал вектором X_1=(3x_i,x_j,7x_k). От вас требуется записать такую матрицу А, что AX_0=X1

[Мироника]

То есть
3 0 0
0 1 0
0 0 7
Так что ли?

[Geckelberryfinn]

Да.

[Мироника]

Огромное человеческое спасибо!

[Someone]

Geckelberryfinn писал(а):

Ну вот смотрите, был вектор X_0=(x_i,x_k,x_j), а стал вектором X_1=(3x_i,x_j,7x_k).

Нет, это пока не вектор. Есть только число $3x_i+x_j+7x_k$. Вектор получится после умножения на $-\vec b$.

[Мироника]

Someone писал(а):

Нет, это пока не вектор. Есть только число $3x_i+x_j+7x_k$. Вектор получится после умножения на $-\vec b$.

Ну да, конечно, это понятно. Вычисления здесь сложнее. Geckelberryfinn просто привел доступный пример.
Но все равно спасибо за замечание.

[Geckelberryfinn]

Someone
Да, вы правы, я не вдавался в вычисления. Ну, я думаю, что участник Мироника уловил смысл.

[Someone]

Мироника писал(а):

А где же долгожданная матрица?

Примените оператор $A$ к базисным векторам $\vec\imath$, $\vec\jmath$, $\vec k$ и составьте матрицу из координат векторов $A\vec\imath$, $A\vec\jmath$, $A\vec k$, расположив их по столбцам. Это и будет матрица оператора (по определению).

[Мироника]

Someone писал(а):

Примените оператор $A$ к базисным векторам $\vec\imath$, $\vec\jmath$, $\vec k$ и составьте матрицу из координат векторов $A\vec\imath$, $A\vec\jmath$, $A\vec k$, расположив их по столбцам. Это и будет матрица оператора (по определению).

То есть вычислить $Ax=-(acx)b+2x$ полагая $x=i+j+k$?

Добавлено спустя 8 минут 5 секунд:

А, все я поняла.
Вместо $x$ нужно подставлять $i=i+0j+0k$, затем $j=0i+j+0k$, затем $k=0i+0j+k$

Добавлено спустя 1 минуту 4 секунды:

Так?

[Someone]

Так.