Преобразование Фурье

[insomnia]

Когда можно переставлять Преобразование Фурье и сумму функционального ряда?

[cool.phenon]

Могу ошибаться,но, вроде, когда ряд сходится равномерно.Это же как обычный предельный переход.

[g______d]

Это вопрос о том, из какого функционального пространства в какое преобразование Фурье является непрерывным (т. е. какая сходимость понимается до преобразования Фурье и какая после). Например, из $L_2$ в $L_2$. Или из $L_1$ в $L_{\infty}$ (на самом деле в $C_0$). Или из $L_p$ в $L_q$, $1\le p\le 2$, $\frac1p+\frac1q=1$. Или из $\mathcal S$ в $\mathcal S$, или из $\mathcal S'$ в $\mathcal S'$.

Т. е., например, если ряд сходится в $L_2$, то ряд из преобразований Фурье тоже. Если ряд сходится в $L_1$, то ряд из преобразований Фурье сходится в $L_{\infty}$, т. е. равноменно. Если ряд сходится в топологии пространства Шварца или в топологии пространства обобщенных функций умеренного роста, то ряд из преобразований Фурье сходится в той же топологии.

-- 09.01.2013, 19:27 --

cool.phenon в сообщении #669355 писал(а):

Могу ошибаться,но, вроде, когда ряд сходится равномерно.Это же как обычный предельный переход.

Поскольку это несобственный интеграл, то еще нужна будет равномерная оценка хвостов. Так что по сути это сведется к чему-то более сильному, чем $L_1$, а достаточно уже просто $L_1$ (хотя, опять же, смотря для какой сходимости ряда из преобразований Фурье).