Доопределение функций, несобственные интегралы.

[ewert]

SpBTimes в сообщении #669009 писал(а):

а чем так как я доказал - плохо?

Оккаму не понравится. Он как врежет своей бритвой по разным частям тела -- так мало не покажется.

Бессмысленно рассматривать разность двух функций, одна из которых определена всюду, другая же -- не совсем (поскольку речь пока что о вполне классических функциях и о вполне римановых интегралах). Это для начала; и этого что -- мало?...

[SpBTimes]

ewert
Но почему бессмысленно? В пределе то они очень даже близки

[ewert]

SpBTimes в сообщении #669026 писал(а):

В пределе то они очень даже близки

Да кто "они"-то?...

В оригинале у нас есть лишь две функции. Одна -- которая задана на всём отрезке, за исключением конца. И другая -- заданная на всём отрезке, причём однозначно. Сравнивать их друг с дружкой в классическом понимании -- бессмысленно.

Но зато вполне можно вполне классично сравнивать интегралы от этих функций чуть-чуть не до конца.

[SpBTimes]

ewert
А, понял, и правда. Спасибо за разъяснение.

[champion12]

А я вот что-то окончательно теперь запутался...

[SpBTimes]

champion12

Дело то вот в чем. Если $f(x) \in R[a; b]$, то при $x \in [a; b]$ функция $\Phi (x) = \int\limits_{x}^b f(t) dt$ непрерывна и непрерывно зависит от параметра. Так что $\lim\limits_{\varepsilon \to 0} \Phi(x + \varepsilon) = \Phi(x)$
То есть $\Phi(a) = \int\limits_{a}^b f(t) dt = \lim\limits_{\varepsilon \to 0}\int\limits_{a + \varepsilon}^b f(t)dt$, где справа стоит с одной стороны доопределенная функция, а с другой - ни что иное, как определение несобственного интеграла для исходной разрывной $f$.

[champion12]

Что-то меня все равно путает одинаковое обозначение, потому не могу понять.

Может вот так сделать? Пусть $f(x)$ непрерывна на $(a;b]$

$\lim\limits_{x\to a}f(x)=y_a$

Доопределенная функция:

$f^{*}(x)=\begin{cases} f(x),\;\;\;\;\;\; x\in(a;b] \\ y_a,\;\;\;\;\;\; x=a\end{cases}$

Тогда $\int\limits_{a}^b f(t) dt = \lim\limits_{\varepsilon \to 0}\int\limits_{a + \varepsilon}^b f(t)dt=\lim\limits_{\varepsilon \to 0}\int\limits_{a + \varepsilon}^b f^{*}(t)dt$

Верно ли это? Если да, то мне не понятно вот это равенство, почему оно справедливо?

$\lim\limits_{\varepsilon \to 0}\int\limits_{a + \varepsilon}^b f(t)dt=\lim\limits_{\varepsilon \to 0}\int\limits_{a + \varepsilon}^b f^{*}(t)dt$