2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Доказать неравенство
Сообщение05.01.2013, 17:26 


16/03/11
844
No comments
Доказать, что если $a,b,c>0$, то выполняется неравенство:

$$\frac{a^7}{b^3c^2}+\frac{b^7}{c^3a^2}+\frac{c^7}{a^3b^2}\ge a^2+b^2+c^2$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать неравенство
Сообщение05.01.2013, 19:21 


26/05/12
108
Минск, Беларусь
Неравенство Мюрхеда в чистом виде, только под общий знаменатель загнать, не?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать неравенство
Сообщение05.01.2013, 20:06 


16/03/11
844
No comments
Я тут в википедии прочитал про неравенство Мюрхеда. Я не понял, как как может быть, что $a>b$, где a и b наборы, но сумма всех чтсел в этих наборах равны. Или мы сравниваем два наибольших числа из двух наборов?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать неравенство
Сообщение05.01.2013, 21:55 
Аватара пользователя


12/05/12
604
Оттуда
Здесь можно через неравенство Мюрхеда,но можно и через весовое неравенство Коши (между ср. арифм. и ср.геом.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать неравенство
Сообщение05.01.2013, 22:06 


16/03/11
844
No comments
cool.phenon в сообщении #667695 писал(а):
Здесь можно через неравенство Мюрхеда,но можно и через весовое неравенство Коши (между ср. арифм. и ср.геом.)

Первый способ я вроде бы понял. Вот я думал в основном о использовании неравенства о средних, но ничего не выходило. Что именно нужно делать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать неравенство
Сообщение05.01.2013, 22:13 
Аватара пользователя


12/05/12
604
Оттуда
Нужно методом неопределённых коэффициентов представить левую часть в виде суммы трёх групп, в каждой из которых будут данные одночлены с некоторыми коэффициентами (их сумма будет равна $1$). В силу симметричности, в каждой из этих групп коэффициенты одинаковые, но смещаются циклически . Это значит, что к каждой из групп применяем весовое неравенство Коши и складываем. Итого- слева левая часть неравенства, справа- правая.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать неравенство
Сообщение06.01.2013, 22:47 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
cool.phenon в сообщении #667695 писал(а):
Здесь можно через неравенство Мюрхеда

Нет! Поскольку неравенство циклическое, а не симметрическое.
Вот если сначала воспользоваться перестановочным неравенством, то - да, можно:
$\sum\limits_{cyc}\frac{a^9}{b}\geq\sum\limits_{cyc}a^8\geq\sum\limits_{cyc}a^4b^2c^2$. :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать неравенство
Сообщение06.01.2013, 23:44 


26/05/12
108
Минск, Беларусь
arqady, разве если подогнать левую часть под общий знаменатель и домножить на него обе части, левая и правая часть не будут от этого симметрическими?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать неравенство
Сообщение07.01.2013, 07:49 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
А Вы проверьте, Tanechka, проверьте. :-)

-- Пн янв 07, 2013 08:54:22 --

cool.phenon в сообщении #667695 писал(а):
...но можно и через весовое неравенство Коши (между ср. арифм. и ср.геом.)

Здесь, кстати, можно доказать, что если при попытке применения этого метода среди "весов" появляется что-то отрицательное, то исходное неравенство неверно. :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать неравенство
Сообщение07.01.2013, 15:13 


26/05/12
108
Минск, Беларусь
arqady, да, вы правы, я поспешила... А если по Коши доказать, что:
$43a^{10}b+23b^{10}c+25c^{10}a\geqslant91a^5b^3c^3$
И сложить все такие цикл. перестановки, это правильно будет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать неравенство
Сообщение07.01.2013, 17:48 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Ну... да. Именно это и имелось здесь в виду, когда говорилось об AM-GM c весами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать неравенство
Сообщение07.01.2013, 18:07 


26/05/12
108
Минск, Беларусь
А, вы это через весовое нер. получали... ну или так...

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать неравенство
Сообщение07.01.2013, 22:35 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Tanechka в сообщении #668482 писал(а):
А, вы это через весовое нер. получали...

Я - да. А Вы разве как-то по-другому?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать неравенство
Сообщение07.01.2013, 23:27 


26/05/12
108
Минск, Беларусь
Представила каждое слагаемое по типу $43x=x+x+...$ и таком виде применила обычное неравенство Коши.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать неравенство
Сообщение08.01.2013, 16:33 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Я спрашивал, как Вы получили числа $43$, $23$ и $25$?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group