Доказать неравенство

[DjD USB]

Доказать, что если $a,b,c>0$, то выполняется неравенство:

$$\frac{a^7}{b^3c^2}+\frac{b^7}{c^3a^2}+\frac{c^7}{a^3b^2}\ge a^2+b^2+c^2$$

[Tanechka]

Неравенство Мюрхеда в чистом виде, только под общий знаменатель загнать, не?

[DjD USB]

Я тут в википедии прочитал про неравенство Мюрхеда. Я не понял, как как может быть, что $a>b$, где a и b наборы, но сумма всех чтсел в этих наборах равны. Или мы сравниваем два наибольших числа из двух наборов?

[cool.phenon]

Здесь можно через неравенство Мюрхеда,но можно и через весовое неравенство Коши (между ср. арифм. и ср.геом.)

[DjD USB]

cool.phenon в сообщении #667695 писал(а):

Здесь можно через неравенство Мюрхеда,но можно и через весовое неравенство Коши (между ср. арифм. и ср.геом.)

Первый способ я вроде бы понял. Вот я думал в основном о использовании неравенства о средних, но ничего не выходило. Что именно нужно делать?

[cool.phenon]

Нужно методом неопределённых коэффициентов представить левую часть в виде суммы трёх групп, в каждой из которых будут данные одночлены с некоторыми коэффициентами (их сумма будет равна $1$). В силу симметричности, в каждой из этих групп коэффициенты одинаковые, но смещаются циклически . Это значит, что к каждой из групп применяем весовое неравенство Коши и складываем. Итого- слева левая часть неравенства, справа- правая.

[arqady]

cool.phenon в сообщении #667695 писал(а):

Здесь можно через неравенство Мюрхеда

Нет! Поскольку неравенство циклическое, а не симметрическое.
Вот если сначала воспользоваться перестановочным неравенством, то - да, можно:
$\sum\limits_{cyc}\frac{a^9}{b}\geq\sum\limits_{cyc}a^8\geq\sum\limits_{cyc}a^4b^2c^2$.

[Tanechka]

arqady, разве если подогнать левую часть под общий знаменатель и домножить на него обе части, левая и правая часть не будут от этого симметрическими?

[arqady]

А Вы проверьте, Tanechka, проверьте.

-- Пн янв 07, 2013 08:54:22 --

cool.phenon в сообщении #667695 писал(а):

...но можно и через весовое неравенство Коши (между ср. арифм. и ср.геом.)

Здесь, кстати, можно доказать, что если при попытке применения этого метода среди "весов" появляется что-то отрицательное, то исходное неравенство неверно.

[Tanechka]

arqady, да, вы правы, я поспешила... А если по Коши доказать, что:
$43a^{10}b+23b^{10}c+25c^{10}a\geqslant91a^5b^3c^3$
И сложить все такие цикл. перестановки, это правильно будет?

[arqady]

Ну... да. Именно это и имелось здесь в виду, когда говорилось об AM-GM c весами.

[Tanechka]

А, вы это через весовое нер. получали... ну или так...

[arqady]

Tanechka в сообщении #668482 писал(а):

А, вы это через весовое нер. получали...

Я - да. А Вы разве как-то по-другому?

[Tanechka]

Представила каждое слагаемое по типу $43x=x+x+...$ и таком виде применила обычное неравенство Коши.

[arqady]

Я спрашивал, как Вы получили числа $43$, $23$ и $25$?