Фракталы, самоподобие фигур при делении пополам

[studentasia]

Отрезок прямой при делении пополам разделяется на два самоподобных отрезка. Равнобедренный прямоугольный треугольник при делении пополам разделяется на два самоподобные треугольника медианой, биссектрисой, высотой из прямого угла. Эти процессы деления можно продолжать до бесконечности. Сколько еще существует таких фигур, которые при делении пополам самоподобны и которые остаются самоподобными при бесконечном количестве таких делений пополам, какие это фигуры? Какие есть теоремы по этому поводу?

[EtCetera]

Еще, к примеру, прямоугольник со сторонами 1 и $\sqrt{2}$ (при делении прямой, параллельной меньшей стороне).
Кстати, Вы только односвязные фигуры подразумевали?

[studentasia]

EtCetera в сообщении #668654 писал(а):

Еще, к примеру, прямоугольник со сторонами 1 и $\sqrt{2}$ (при делении прямой, параллельной меньшей стороне).
Кстати, Вы только односвязные фигуры подразумевали?

Не только односвязные фигуры я подразумевал.

[longstreet]

Это как-то связано с симметриями...?

[studentasia]

longstreet в сообщении #668659 писал(а):

Это как-то связано с симметриями...?

Думаю, что да.

[Алексей К.]

Эти Ваши примеры как бы мелочь по сравнению с логарифмической спиралью $r(\theta)=e^{\theta}$, $\theta\in[-\infty;+\infty]$. Главное, для любого $\Theta>0$ я могу и доказать подобие ветвей $\theta\in[-\Theta;0]$ и $\theta\in[0;\Theta]$, и коэффициент подобия вычислить... Но для $\Theta=\infty$ у меня такой крамольный коэффициент получается, что даже не знаю, как его здесь написать. Получается, что если взять микроскоп, даже электронный, и рассмотреть под ним предельную точку (или как там она в реале называется), то... Нет, не получается описать этот ужас...

Не лучшее видение перед сном.

-- 08 янв 2013, 01:56:05 --

Ой, успел сообразить! До засыпа успел!

В Ваших примерах половинки были подобны целому. А в моём они подобны друг другу, и только.
Не катит. Сорри.

[Shadow]

studentasia в сообщении #668653 писал(а):

Равнобедренный прямоугольный треугольник при делении пополам разделяется на два самоподобные треугольника медианой, биссектрисой, высотой из прямого угла. Эти процессы деления можно продолжать до бесконечности

Ну не обязательно равнобедренный.

Не совсем по теме, но и в "олимпиадных" есть вопрос про задач для седмого класса, вот и вспомнил задачу из моего вступительного экзамена в МШ: В прямоугольном треугольнике с катетами $a,b$ провели высоту к гипотенузе. Получились два новые прямоуольные треугольника. С ними проделали то же самое и так ..2013 раз. В получившихся маленьких треугольников вписали окружности. Найти сумму площадей всех окружностей.

[BVR]

А что значит - деление пополам? На две равные фигуры? Тогда можно посоставлять требуемые фигурки

[studentasia]

Нет никаких ограничений ни на размерность фигуры, ни на разделяющую данную фигуру на две равные части многомерную плоскость.

-- 09.01.2013, 01:28 --

BVR в сообщении #668707 писал(а):

А что значит - деление пополам? На две равные фигуры? Тогда можно посоставлять требуемые фигурки

Да.