Поля и их расширения

[Tolyanbanan]

Добрый день. Разбирая доказательство теоремы "Любое поле характеристики p$>1$ с точностью до изоморфизма является расширением поля вычетов $Z_p$", понял, что окончательно запутался в том, что такое поле, а именно его представление. Поле вычетов $Z_p$, если я правильно понимаю- множество классов {$C_0$,$C_1$,...,$C_{p-1}$}. Собственно, первый вопрос: в поле мы оперируем классами?
Следующий вопрос: поле характеристики $p$ будет выглядеть как {$a_0$,$a_1$,...,$a_{p-1}$}? Иначе говоря, может ли в таком поле быть больше элементов, чем $p$? Пример был бы очень кстати. Знаю, что характеристика поля-наименьшее натуральное число $n$ такое, что единица кратности $n$, то есть $n1$, $=0$. В связи с этим вопрос, что будет, если взять ${(n+1)1}$ ? Получится, как в циклической группе $a_1$?
И самый главный вопрос, который относится к теореме: есть поле характеристики p$>1$. Как будет выглядеть то расширение поля вычетов $Z_p$, изоморфное исходному полю. Если можно, на примере.

[AV_77]

Tolyanbanan в сообщении #668412 писал(а):

Собственно, первый вопрос: в поле мы оперируем классами?

В поле мы оперируем его элементами. А уж как эти элементы представлять - виде классов вычетов, или как-то еще, без разницы. Удобнее считать, что $\mathbb{F}_p = \{ 0, 1, \ldots, p-1 \}$.

Tolyanbanan в сообщении #668412 писал(а):

Иначе говоря, может ли в таком поле быть больше элементов, чем $p$?

Конечно может. Перед вашей теоремой должны быть примеры. Если их не хватает, то рассмотрите поле характеристики 2 из 4 элементов $\mathbb{F}_2[x] / (x^2+x+1)$. Как оно строится, как в нем выполняются сложение и умножение.

[VAL]

Поле характеристики $p$, разумеется, может иметь больше чем $p$ элементов.
Оно вполне может быть даже бесконечным.
Правда, число элементов не может быть произвольным. В случае конечности поля, его мощность обязательно будет натуральной степенью числа $p$.

Идея же доказательства Вашего утверждения очень проста. Начните с того, что в поле обязана быть единица. Теперь остается складывать эту единицу саму с собой, пока на p-том шаге не получим $0$ (это следует из определения характеристики). Остается доказать, что множество всевозможных сумм единиц образует подполе исходного поля, изоморфное $\mathbb Z_p$.

[Deggial]

Tolyanbanan, оформляйте формулы ТеХом целиком. Например, так

Tolyanbanan в сообщении #668412 писал(а):

p$>1$

писать не надо. Надо так: $p>1$

$p>1$

Фигурные скобки пишутся так:

$\{a\}$

Индексы пишутся так:

b_{123}

[Tolyanbanan]

Друзья, спасибо огромное за Вашу помощь. Очень помогло, во всем разобрался. Еще раз спасибо.

Что касается формул, как только доберусь до компьютера, исправлю. Неравенство написал именно так, поскольку $p$ не отображалось.