Добрый день. Разбирая доказательство теоремы "Любое поле характеристики p

с точностью до изоморфизма является расширением поля вычетов

", понял, что окончательно запутался в том, что такое поле, а именно его представление. Поле вычетов

, если я правильно понимаю- множество классов {

,

,...,

}. Собственно, первый вопрос: в поле мы оперируем классами?
Следующий вопрос: поле характеристики

будет выглядеть как {

,

,...,

}? Иначе говоря, может ли в таком поле быть больше элементов, чем

? Пример был бы очень кстати. Знаю, что характеристика поля-наименьшее натуральное число

такое, что единица кратности

, то есть

,

. В связи с этим вопрос, что будет, если взять

? Получится, как в циклической группе

?
И самый главный вопрос, который относится к теореме: есть поле характеристики p

. Как будет выглядеть то расширение поля вычетов

, изоморфное исходному полю. Если можно, на примере.