задачи по функциональному анализу

[Ubu]

$1)$ Доказать, что продолжение по Хану-Банаху любого линейного непрерывного функционала с $C_{0}$ на $C$ единственно.

Как делаю: $e_{k} = \left \{0..1..0...\right \}$ - базис в $C_{0}$ (1 на $k$-ом месте)

Элемент из $C _{0}$ представлю так:
$x\in C _{0}, x=\sum_{1}^{\infty}x_{k}e_{k}$
для линейного непрерывного функционала $f\in C_{0}^{*}$ его норма будет $\left \| f \right \|=\sum \left | f(e_{k}) \right |$

Продолжим $f$ на $C$:
$F\in C^{*} ,F|_{c_{0}}=f, \left \| F \right \| =\left \| f \right \| $ - по Х-Б

Элемент $y\in C$ представим в виде $y=x +te$ ( $e= \left \{1 1...\right \}, t=\lim_{k\rightarrow \infty} y_{k}$ )

$F(y)=F(x+te)=f(x)+tF(e)$

И как подойти к единственности?


$2)$ Для следующей последовательности операторов определить вид сходимости и найти предел(если существует):
в $\beta(l_{p})$ $p\in \left [1,\infty) A_{n} (x_{1},x_{2},...) = (\lambda _{1,n}x_{1}, \lambda _{2,n}x_{2}, ...)$, $|\lambda _{k,n}| <C$
и для любого $k: \lambda _{k,n}\rightarrow \lambda _{k} (n \rightarrow \infty) $, т.е. векторы $\lambda _{n} = (\lambda _{1,n}, \lambda _{2,n}, ...)$ сходятся к $ \lambda = (\lambda _{1}, \lambda _{2}, ...)$ $*-$слабо в l_{\infty}$

Как действовать тут?