Применимость функции Лагранжа

[StRadionov]

Здравствуйте! Внезапно обнаружил, что ничего не понимаю в методе Лагранжа:) Вот известная задача: рассматривается функция $U=(q_1^\rho+q_2^\rho+...+q_n^\rho)^{1/\rho}$. Нужно найти ее максимум при $p_1 q_1 +...+ p_n q_n \leq I$. Можно составить функцию Лагранжа для $U^\rho$, поскольку возведение в степень есть строго монотонное преобразование. Получаем $L=(q_1^\rho+q_2^\rho+...+q_n^\rho)-\lambda (p_1 q_1 +...+ p_n q_n - I)$. Взяв производную по $q_i$, получаем $\rho q_i^{\rho-1} - \lambda p_i = 0$. Отсюда выражается $q_i$ и так далее, все понятно. А теперь, допустим, мне априори известно, что все $q_i$ должны быть одинаковы, например, потому что все $p_i$ одинаковы. Вопрос состоит в том, могу ли я сразу использовать эту информацию? Странность состоит в том, что функция Лагранжа для $U$ в этом случае равен $L=q_i n^{1/\rho}-\lambda (n p_i q_i - I)$, и взятие производной по $q_i$ не даст ничего хорошего. С другой стороны, если составить функцию Лагранжа для $U^\rho$, то получится ровно то, что надо: $L=q_i^\rho n -\lambda (n p_i q_i - I)$ и так далее. Вот я и не могу понять - ясно, что к функциям можно безбоязненно применять монотонные преобразования, на максимум это не влияет. И использовать априорную информацию тоже вроде можно. Так почему же метод Лагранжа то срабатывает, то нет?