ОДЗ в равенстве

[Fanday]

$\sqrt{1-\cos{x}}=\sqrt{2}\cos{x}$

Как правильно? ->
$1-\cos{x}\geqslant0$ или $\sqrt{2}\cos{x}\geqslant0$ ?

Ведь они дают два совершенно разных условия.
А мне надо будет корни отобрать.
ЕГЭ C1.

Спасибо.

[SpBTimes]

Они для разного нужны. Подкоренное выражение неотрицательно в силу области определения, дополнительное же условие ставится исходя из того, что возводя обе части выражения в квадрат, для сохранения равносильности, нужно убедиться, что обе части одного знака. Так как корень не выдает отрицательных значений, то и справа должно быть неотрицательное число

[Nacuott]

Если говорить об ОДЗ заданного уравнения, то ее определяет первое неравенство.А если об области корней уравнения - то первое и второе неравенства.

[Fanday]

SpBTimes
Спасибо большое.

Цитата:

Так как корень не выдает отрицательных значений, то и справа должно быть неотрицательное число

Значит, возводя обе части квадрат, мне нужно написать лишь одно условие $\cos{x}\geqslant0$ ?

Nacuott
Спасибо.

Цитата:

Если говорить об ОДЗ заданного уравнения, то ее определяет первое неравенство.А если об области корней уравнения - то первое и второе неравенства.

В таком случае я не понял.

Для решения мне нужно возвести обе части в квадрат.

Получилось два ответа:

$x=\pi+2\pi n;$ $n \in Z$

$x=\pm\frac{\pi}{3}+2 \pi k;$ $k \in Z$

Та область значений, которую я установлю, решит, какой корень войдет, какой - нет. Какой ограничитель всё-таки поставить?

Спасибо.

-- 06.01.2013, 23:28 --

(Оффтоп)

Цитата:

У уравнения может быть ОДЗ?!

А что, не может?

[_Ivana]

Fanday в сообщении #668160 писал(а):

Та область значений, которую я установлю, решит, какой корень войдет, какой - нет. Какой ограничитель всё-таки поставить?

У вас 3 2-пи периодических корня. Если путаетесь в понятиях уравнение, функция, ОДЗ, ОО и т.п., подставьте их по очереди в уравнение и посмотрите какие подходят.

[SpBTimes]

Вообще говоря, вы не ошибетесь, написав оба условия, но условие на неотрицательность подкоренного выражения не нужно, а вот на неотрицательность правой части - обязательно. Условие на корень тогда учтется автоматически

[Fanday]

Цитата:

условие на неотрицательность подкоренного выражения не нужно, а вот на неотрицательность правой части - обязательно. Условие на корень тогда учтется автоматически

Всё, что мне было нужно для успешной сдачи :)
Спасибо.

Короче, учитывать надо не подкоренное выражение, а то, что приравнено к нему.

[SpBTimes]

Fanday
Если бы вы поняли, почему так, то и вопроса бы не возникло, а то опять же забудете

[Fanday]

SpBTimes

(Оффтоп)

Цитата:

Если бы вы поняли, почему так, то и вопроса бы не возникло, а то опять же забудете

Уж очень постараюсь не забыть :)

Четыре предмета, 5 месяцев. Надо торопиться...

[Nacuott]

SpBTimes в сообщении #668165 писал(а):

Вообще говоря, вы не ошибетесь, написав оба условия, но условие на неотрицательность подкоренного выражения не нужно, а вот на неотрицательность правой части - обязательно. Условие на корень тогда учтется автоматически

SpBTimes, Ну что Вы путаете ТС.Для данного уравнения будет так, как вы говорите.ТС поймет, что так будет всегда.

[Fanday]

Цитата:

Для данного уравнения будет так, как вы говорите.ТС поймет, что так будет всегда.

$\sqrt{f(x)}=g(x)$
Нужно учесть, что $g(x)\geqslant0$

Вот, что я запомнил для себя. Зря?

[AKM]

Fanday,

я, признаться, не понял, поняли ли Вы то, что Вам здесь старательно впаривали.

Первое. Если Вы собираетесь возводить обе части уравения $\sqrt{1-\cos{x}}=\sqrt{2}\cos{x}$ в квадрат, то --- заметьте, результат будет такой же, как если бы Вы решали уравнение $\sqrt{1-\cos{x}}={\color{magenta}-}\sqrt{2}\cos{x}$. Ваше возведённое-в-квадрат-уравнение даст корни для обоих написанных здесь уравнений. Одно из неравенств забоится об отсечении лишних решений:

Возведение обеих частей уравнения в квадрат не является ЭКВИВАЛЕНТНЫМ преобразованием исходного уравнения!

Ой, уже много в ответ написали...

-- 07 янв 2013, 01:06 --

Т.е. я предлагаю не правило запоминать, а идею, смысл.

-- 07 янв 2013, 01:16 --

Второе.
Неплохая привычка --- увидев дробь или квадратный (и не только) корень, позаботиться об ОДЗ. Но включим думалку. Возведя в квадрат и решив уравнение $1-\cos{x}=2\cos^2{x}$, Вы никак не можете получить иксов, которые делают подкоренное выражение отрицательным! При всех этих иксах $1-\cos{x}$ может быть только положительным.
И это нас избавляет от необходимости заботиться об ОДЗ в данном случае.

Только всё это должно быть осознанно. Возможно, эти соображения стоит отразить в документе-решении.

-- 07 янв 2013, 01:29 --

Fanday в сообщении #668179 писал(а):

$\sqrt{f(x)}=g(x)$
Нужно учесть, что $g(x)\geqslant0$

Вот, что я запомнил для себя. Зря?

Может и не зря. Но не всегда это легко учесть. Неравенство $g(x)\geqslant0$ в иных случаях само может оказаться непростым.
Вариант: если используете неэквивалентные преобразования уравнения --- проверьте все найденные корни тупой подстановкой. Это в данном случае не блажь, а часть решения.