Длина дуги функции

[Городецкий Павел]

Опять вопрос
Найти длину дуги следующей функции

\[\sqrt {\left| x \right|} + \sqrt {\left| y \right|} = 1\]

Решение:
1. График данной функции симметричен относительно обоих осей поэтому можно снять модули, искать длину дуги для первой четверти и умножить полученное значение на 4.
2. Параметризуем:

\[x(t) = \cos ^4 t,y (t) = \sin ^4 t\]

3. Длину дуги считаю по формуле:

\[l = \int\limits_a^b {\sqrt {x'^2 (t) + y'^2 (t)} dt} \]

4. Для первой четверти

\[a = 0,b = \pi /2\]

5. Получаем:

\[l = 4\int\limits_0^{\pi /2} {\sqrt {(4\cos ^3 t( - \sin t))^2 + (4\sin ^3 t\cos t)^2 } dt = } \]

\[ = 16\int\limits_0^{\pi /2} {\sqrt {(\cos ^2 t\sin ^2 t)(\cos ^4 t + \sin ^4 t)} dt} = 16\int\limits_0^{\pi /2} {\cos t\sin t\sqrt {1 - 2\cos ^2 t\sin ^2 t} dt} = \]

\[ = 8\int\limits_0^{\pi /2} {\sin 2t\cos 2tdt} = 4\int\limits_0^{\pi /2} {\sin 2td(\sin 2t)} = \left. {2\sin ^2 2t} \right|_0^{\pi /2} = 0\]

Получилось ну совсем неправильно - наверно ошибка в 4 пункте?:?
Заранее благодарю!

[Brukvalub]

\sqrt {1 - 2\cos ^2 t\sin ^2 t} вовсе не равно \cos 2t

[Городецкий Павел]

Тогда получается так что ли:

\[ \sqrt {1 - 2\cos ^2 t\sin ^2 t} = \sqrt {1 - \frac{1}{2}\sin ^2 2t} = \sqrt {\frac{{1 + 1 - \sin ^2 2t}}{2}} = \sqrt {(1 + \cos ^2 2t)/2} \]

А сам интеграл:

\[ = 4\int\limits_0^{\pi /2} {\sqrt {(1 + \cos ^2 2t)/2} d(\cos 2t)} = \underbrace {\frac{4}{{\sqrt 2 }}\frac{{\cos 2t}}{2}\left. {\sqrt {(1 + \cos ^2 2t)} } \right|_0^{\pi /2} }_{ = 0} + \frac{2}{{\sqrt 2 }}\ln \left| {\cos 2t + \sqrt {(1 + \cos ^2 2t)} } \right|_0^{\pi /2} = \frac{2}{{\sqrt 2}}\ln \frac{{ - 1 + \sqrt 2 }}{{1 + \sqrt 2 }} \]

[незваный гость]

У Вас длина отрицательна...

В частности, непонятно, почему первое слагаемое равно нулю.

И потом, как-то непонятен переход от интеграла к формулам (в самом конце).

Позвольте также посоветовать: длинные выкладки лучше нарезать:

[math]$a + b = a + b = a + b = a + b$[/math]

гораздо хуже, чем

[math]$a + b = $[/math] [math]$a + b = $[/math] [math]$a + b = $[/math]  [math]$a + b$[/math]

[RIP]

Городецкий Павел

$$d(\cos2t)=-2\sin2t\,dt.$$

Добавлено спустя 2 минуты 6 секунд:

незваный гость писал(а):

И потом, как-то непонятен переход от интеграла к формулам (в самом конце).

Используется табличный интеграл

$$\int\sqrt{1+x^2}\,dx=\frac x2\sqrt{1+x^2}+\frac12\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)+C.$$

[незваный гость]

а-а-а. Меня смутило разрезание, и кусок формулы был за пределами экрана. Пригрезилось, что там что-то по частям берут...