2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Длина дуги функции
Сообщение22.05.2007, 22:38 
Опять вопрос :(
Найти длину дуги следующей функции \[\sqrt {\left| x \right|}  + \sqrt {\left| y \right|}  = 1\]
Решение:
1. График данной функции симметричен относительно обоих осей поэтому можно снять модули, искать длину дуги для первой четверти и умножить полученное значение на 4.
2. Параметризуем: \[x(t) = \cos ^4 t,y (t) = \sin ^4 t\]
3. Длину дуги считаю по формуле: \[l = \int\limits_a^b {\sqrt {x'^2 (t) + y'^2 (t)} dt} \]
4. Для первой четверти \[a = 0,b = \pi /2\]
5. Получаем: \[l = 4\int\limits_0^{\pi /2} {\sqrt {(4\cos ^3 t( - \sin t))^2  + (4\sin ^3 t\cos t)^2 } dt = } \]
\[ = 16\int\limits_0^{\pi /2} {\sqrt {(\cos ^2 t\sin ^2 t)(\cos ^4 t + \sin ^4 t)} dt}  = 16\int\limits_0^{\pi /2} {\cos t\sin t\sqrt {1 - 2\cos ^2 t\sin ^2 t} dt}  = \]
\[ = 8\int\limits_0^{\pi /2} {\sin 2t\cos 2tdt}  = 4\int\limits_0^{\pi /2} {\sin 2td(\sin 2t)}  = \left. {2\sin ^2 2t} \right|_0^{\pi /2}  = 0\]

Получилось ну совсем неправильно - наверно ошибка в 4 пункте?:?
Заранее благодарю!

 
 
 
 
Сообщение22.05.2007, 22:42 
Аватара пользователя
\sqrt {1 - 2\cos ^2 t\sin ^2 t} вовсе не равно \cos 2t

 
 
 
 
Сообщение22.05.2007, 23:07 
Тогда получается так что ли:
\[
\sqrt {1 - 2\cos ^2 t\sin ^2 t}  = \sqrt {1 - \frac{1}{2}\sin ^2 2t}  = \sqrt {\frac{{1 + 1 - \sin ^2 2t}}{2}}  = \sqrt {(1 + \cos ^2 2t)/2} 
\]
А сам интеграл:
\[
 = 4\int\limits_0^{\pi /2} {\sqrt {(1 + \cos ^2 2t)/2} d(\cos 2t)}  = \underbrace {\frac{4}{{\sqrt 2 }}\frac{{\cos 2t}}{2}\left. {\sqrt {(1 + \cos ^2 2t)} } \right|_0^{\pi /2} }_{ = 0} + \frac{2}{{\sqrt 2 }}\ln \left| {\cos 2t + \sqrt {(1 + \cos ^2 2t)} } \right|_0^{\pi /2}  = \frac{2}{{\sqrt 2}}\ln \frac{{ - 1 + \sqrt 2 }}{{1 + \sqrt 2 }}
\]

 
 
 
 
Сообщение23.05.2007, 02:43 
Аватара пользователя
:evil:
У Вас длина отрицательна...

В частности, непонятно, почему первое слагаемое равно нулю.

И потом, как-то непонятен переход от интеграла к формулам (в самом конце).

Позвольте также посоветовать: длинные выкладки лучше нарезать:
Код:
[math]$a + b = a + b = a + b = a + b$[/math]
гораздо хуже, чем
Код:
[math]$a + b = $[/math] [math]$a + b = $[/math] [math]$a + b = $[/math]  [math]$a + b$[/math]

 
 
 
 
Сообщение23.05.2007, 05:00 
Аватара пользователя
Городецкий Павел
$$d(\cos2t)=-2\sin2t\,dt.$$

Добавлено спустя 2 минуты 6 секунд:

незваный гость писал(а):
И потом, как-то непонятен переход от интеграла к формулам (в самом конце).

Используется табличный интеграл
$$\int\sqrt{1+x^2}\,dx=\frac x2\sqrt{1+x^2}+\frac12\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)+C.$$

 
 
 
 
Сообщение23.05.2007, 05:10 
Аватара пользователя
:evil:
а-а-а. Меня смутило разрезание, и кусок формулы был за пределами экрана. Пригрезилось, что там что-то по частям берут... :oops:

 
 
 [ Сообщений: 6 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group