геометрия постранства

[g______d]

bayak в сообщении #667202 писал(а):

Поэтому, когда я пишу $[0;\pi)\times[0;2\pi)$, то все понимают, что это координаты прямого произведения проективной прямой на окружность. Теперь мы берём отображение произведения пр. прямой и окружности на сферу

$$\begin{cases} x_1=\cos\varphi\cos\vartheta\\ x_2=\cos\varphi\sin\vartheta\\ x_3=\sin\varphi \end{cases}$$

где $0\leq\varphi<2\pi, 0\leq\vartheta<\pi$. Если Вы не понимаете, что оно однозначно везде кроме полюсов, то извините - я всё же пытался объяснить.

Наконец-то написали. Теперь можно придираться. Ничего, что оно разрывно в точке $0$? Если бы оно было непрерывным, то значение в нуле и предел слева в точке $\pi$ бы совпадали, а здесь явно $0$ и предел в точке $\pi$ отображаются в разные точки. Кроме того, в один из полюсов сферы ($\theta=\pi$) не отображается вообще ничего, т. е. оно не сюръективно. Так что никакое это и близко не накрытие.

[bayak]

g______d
Это отображение уже было выписано, невнимательно читаете. Полюс там в другом месте, и об этом тоже было сказано. Вам явно не хватает геометрического воображения.

[g______d]

Точка $\theta=0$, $\varphi=0$ отображается в $(1,0,0)$. Точка $\theta=\pi-\varepsilon$, $\varphi=0$ отображается в точку, близкую к $(-1,0,0)$. Т. е. Точки, близкие на проективной прямой, на сфере не близки. Т. е. отображение разрывно.

Кроме того, по этой же формуле какая точка произведения проективной прямой и окружности отображается ровно в точку $(-1,0,0)$ на сфере? Никакая?

[kostiani]

bayak ждем ответа от вас. Желательно конкретного, по этим самым пунктам. Согласны "плюс", не согласны---выразите несогласие, и свой вариант правильного ответа. Сравним.

[Munin]

(Оффтоп)

kostiani в сообщении #667644 писал(а):

bayak ждем ответа от вас.

Вы-то тут при чём? Так неймётся поклоунствовать?

[schekn]

Цитата:

[quote="g______d в [url=http://dxdy.ru/post667235.html#p667235]

Извиняюсь, что вмешиваюсь, но тут у меня вопрос как-то в тему.
Если мы сферу разобьем на две полусферы и их спроецируем на два параллельных круга со своей координатной системой , то граница двух полусфер отобразиться на границу кругов (окружность) .
Два круга можно склеить по границе. Таким образом мы получим две согласованные карты. Если же мы спроецируем их на две параллельные координатные плоскости, то экватор (граница полусфер) выпадет из рассмотрения, поскольку окажется в бесконечно удаленных точках. Склеить две плоскости не получается. В чем некорректность такого рассуждения?

[casualvisitor]

schekn в сообщении #669153 писал(а):

Если мы сферу разобьем на две полусферы и их спроецируем на два параллельных круга со своей координатной системой , то граница двух полусфер отобразиться на границу кругов (окружность) .
Два круга можно склеить по границе. Таким образом мы получим две согласованные карты.

Нет, не получим. Карта - это отображение открытого множества. Поэтому экватор Вам придется выбросить, если Вы захотите построить карты, исходя из описанных Вами проекций. Две карты Вы так построите, но экватор останется не покрытым ими.

Да, и о согласованности этих карт говорить не приходится, так как покрываемые ими области (открытые полусферы) не пересекаются.

[schekn]

casualvisitor в сообщении #669221 писал(а):

Нет, не получим. Карта - это отображение открытого множества. Поэтому экватор Вам придется выбросить, если Вы захотите построить карты, исходя из описанных Вами проекций. Две карты Вы так построите, но экватор останется не покрытым ими.
Да, и о согласованности этих карт говорить не приходится, так как покрываемые ими области (открытые полусферы) не пересекаются.

Понятно. Тогда надо сделать поясок на границы одной полусферы и отобразить его на один круг вместе с экватором?

[casualvisitor]

schekn в сообщении #669311 писал(а):

Тогда надо сделать поясок на границы одной полусферы и отобразить его на один круг вместе с экватором?

Вы предлагаете немного растянуть одну из полусфер так, чтобы захватить экватор? ... Можно. Но тогда отображение, задающее карту, будет посложнее ранее предложенной Вами проекции. Можно включить в этот "добавочный поясок" всю вторую полусферу за исключением ее полюса и использовать стереографическую проекцию. Вообще, минимальный атлас для двумерной сферы можно составить из двух карт на основе двух стереографических проекций.

А можно обойтись и такими проекциями, о которых Вы говорили вначале, но только в большем числе - шесть полусфер (северная, южная, западная, восточная, передняя и задняя) с этими проекциями дают полный атлас.

[Munin]

Даже четыре, по вершинам тетраэдра :-)

А можно сначала из точки $(0,0,-\alpha)$ спроецировать чуть больше чем полусферу на полусферу большего радиуса, и её потом вертикально на круг. Или сразу на круг, но не вертикально, а сходящимися лучами. И тогда тоже хватит всего двух карт.

[bayak]

kostiani в сообщении #667644 писал(а):

bayak ждем ответа от вас. Желательно конкретного, по этим самым пунктам. Согласны "плюс", не согласны---выразите несогласие, и свой вариант правильного ответа. Сравним.

Напрасно ждёте. Если бы Вы были внимательны, то заметили бы, что именно мой оппонент уходит от поднятого им же вопроса. Вопрос был не о непрерывности отображения, а об его однозначности.

[kostiani]

bayak в сообщении #669618 писал(а):

Если бы Вы были внимательны, то заметили бы, что именно мой оппонент уходит от поднятого им же вопроса.

Вопрос дискуссии между вами не в том чтобы обозначить ;кто уходит от ответа, кто лучше или кто хуже, и т.п. а в том чтобы выявить заблуждение в одном из мнений.
Проще всего в данном случае и сразу сказать об этом заблуждении, как это сделал ваш оппонент, применяя кстати не совсем мне кажется верные слова "врет", "жульничает" и т.п.
Пока вы не ответили на вопрос ЗУ. А он обозначен.
Далее. Если вы хотите выявить это заблуждение тогда прямо и выразите его. Допустим таким образом ---я считаю что отображение должно быть таким то при таких-то условиях, и оговорить эти условия, а ЗУ считает что отображение в таких же точно условиях должно быть таким -то---и в этом есть заблуждение его мнения. После такого сообщения сразу же станет понятным где лежит корень преткновения. Вы способны написать такое сообщение?
Мы с нетерпением ждем развязки .

[nikvic]

(Оффтоп)

kostiani в сообщении #669638 писал(а):

корень преткновения

Вики-словарь говорит, что преткнов
Но можно и не доверять ему...

[g______d]

bayak в сообщении #669618 писал(а):

Напрасно ждёте. Если бы Вы были внимательны, то заметили бы, что именно мой оппонент уходит от поднятого им же вопроса. Вопрос был не о непрерывности отображения, а об его однозначности.

Вопрос был о возможности однозначного отображения в неявном предположении его непрерывности. Все мои аргументы "против" основывались на отсутствии непрерывного отображения с нужными свойствами.

Если вы в своих "отождествлениях" не предполагаете даже непрерывности (а я замечу, что потом вы пишете дифференциальные уравнения и переносите с одного многообразия на другое, поэтому нужна не просто непрерывность, а гладкость), то это печально. Любые 2 множества мощности континуум тогда можно "отождествить", и говорить осмысленно вообще не о чем.

Едем дальше. На 6 строчке страницы 8 написано равенство $\mathbb R^3\times S^1=PR^2\times\mathbb R\times S^1$. Оно абсолютно безграмотно. Слева и справа стоят гладкие многообразия, которые не то что не равны, а даже не гомеморфны и не диффеоморфны. Кроме того, левое ориентируемо, а правое нет.

[kostiani]

bayak

g______d в сообщении #669818 писал(а):

Вопрос был о возможности однозначного отображения в неявном предположении его непрерывности. Все мои аргументы "против" основывались на отсутствии непрерывного отображения с нужными свойствами.

Что вы скажете на это?

g______d в сообщении #669818 писал(а):

Если вы в своих "отождествлениях" не предполагаете даже непрерывности (а я замечу, что потом вы пишете дифференциальные уравнения и переносите с одного многообразия на другое, поэтому нужна не просто непрерывность, а гладкость), то это печально.

И на это?

g______d в сообщении #669818 писал(а):

На 6 строчке страницы 8 написано равенство $\mathbb R^3\times S^1=PR^2\times\mathbb R\times S^1$. Оно абсолютно безграмотно. Слева и справа стоят гладкие многообразия, которые не то что не равны, а даже не гомеморфны и не диффеоморфны. Кроме того, левое ориентируемо, а правое нет.

Особенно интересен также этот выпад оппонента. Ваша реакция последовательно на три реплики?