2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Предмет и метод современной математики
Сообщение02.01.2013, 20:29 
Аватара пользователя
Munin в сообщении #666332 писал(а):
Дифуры - это один из самых изучаемых в математике объектов, только часто они имеют разные облики, и другие названия: отображения, кривые, многообразия, поля, ростки, динамические системы...

Не буду возражать.
Картина прям ботаническая - роща из одного баньяна...

 
 
 
 Re: Предмет и метод современной математики
Сообщение02.01.2013, 21:12 
Munin в сообщении #666332 писал(а):
Ничего себе заявленьице. А как функан без теории множеств строить, не расскажете? И как дифуры рассматривать без функана?

а я разве утверждал, что функан строится без теории множетв или диффуры не используют функан? Смешно, смешее только ваш дилетантский треп про теорию категорий читать.

-- Ср янв 02, 2013 21:10:08 --

Munin в сообщении #666332 писал(а):
Дифуры - это один из самых изучаемых в математике объектов, только часто они имеют разные облики, и другие названия: отображения, кривые, многообразия

значит многообразие это другое название дифура? :mrgreen: ну-ну

 
 
 
 Re: Предмет и метод современной математики
Сообщение02.01.2013, 23:44 
Aritaborian в сообщении #666271 писал(а):
Много слышал о том, что теория категорий, а не теория множеств, считается теперь основанием математики. Но ведь основным, неопределяемым понятием, всё равно остаётся множество, и это понятие участвует в определении категории?

Совершенно не обязательно; может и не участвовать.

 
 
 
 Re: Предмет и метод современной математики
Сообщение03.01.2013, 20:55 
Аватара пользователя
apriv в сообщении #666443 писал(а):
Совершенно не обязательно; может и не участвовать.
Но тогда множество должно определяться через понятия теории категорий. Как?

 
 
 
 Re: Предмет и метод современной математики
Сообщение03.01.2013, 22:27 
Думаю, что категория множеств — это топос, в котором терминальный объект является порождающим, выполняется аксиома выбора и есть объект «натуральных чисел». Все эти условия при желании можно сформулировать на чисто категорном языке.

 
 
 
 Re: Предмет и метод современной математики
Сообщение04.01.2013, 00:41 
Аватара пользователя
apriv, спасибо. Не скажу, что много понял, но тем не менее ;-)

 
 
 
 Re: Предмет и метод современной математики
Сообщение04.01.2013, 11:44 
Аватара пользователя
apriv в сообщении #666778 писал(а):
Все эти условия при желании можно сформулировать на чисто категорном языке.

И даже понятие "натуральных чисел"? Вау.

Осталось назвать учебник :-)

 
 
 
 Re: Предмет и метод современной математики
Сообщение04.01.2013, 20:36 
Аватара пользователя
Munin, совсем недавно видел категорное определение натуральных чисел. Увы, не помню, где именно, и диаграмму по памяти едва ли нарисую.

 
 
 
 Re: Предмет и метод современной математики
Сообщение04.01.2013, 20:41 
Аватара пользователя

(Оффтоп)

Кронекер: «Целые числа сотворил Бог, а все прочее – дело рук человеческих».

 
 
 
 Re: Предмет и метод современной математики
Сообщение04.01.2013, 21:23 
Munin в сообщении #666951 писал(а):
И даже понятие "натуральных чисел"? Вау.
Осталось назвать учебник :-)

Ну а чего там, натуральные числа — это объект вместе с морфизмом из терминального объекта (ноль) и эндоморфизмом (взятие следующего числа) такой, что какие-то там диаграммы коммутативны. Ключевые слова — ETCS (Elementary Theory of the Category of Sets), учебник для школьников — F. W. Lawvere, R. Rosebrugh, «Sets for Mathematics», и Lawvere еще много чего на эту тему написал (и на тему теории топосов вообще).

 
 
 
 Re: Предмет и метод современной математики
Сообщение04.01.2013, 21:48 
а сущетсвует ли задача, которую не могли решить до появления теории категорий, и решили в последствии лишь категорными методами? :wink:

Вопрос риторический, ответ я знаю.

 
 
 
 Re: Предмет и метод современной математики
Сообщение04.01.2013, 21:52 
Аватара пользователя
Интересно получается. Люди создали теорию категорий, да что там, просто теорию множеств, где целые числа — лишь следствие. Получается, Георг Кантор превзошёл Бога? Неудивительно, что он сошёл с ума...

 
 
 
 Re: Предмет и метод современной математики
Сообщение04.01.2013, 21:53 
Теорию категорий не совсем хорошо воспринимать как «теорию» в том смысле, что у нее есть какие-то методы, и ими что-то решается. Главное ее достижение — то, что она предоставила язык, на котором естественным образом формулируются теоремы, который проясняет не вполне заметные ранее связи, который делает другие области математики концептуально более простыми. То есть, не так много теорем и методов можно отнести собственно к теории категорий; гораздо больше тех, которые естественно формулировать на языке теории категорий (а до этого их формулировали не в такой общности, не теми словами...) Поэтому, например, огромное количество задач из алгебраической геометрии, алгебраической топологии, математического анализа, теории чисел, функционального анализа, дифференциальных уравнений, и т. д., решенных после того, как в соответствующих областях был применен аппарат теории категорий, можно отнести к таким результатам, о которых Вы спрашиваете.

Возможно, Вы имели в виду немного другую формулировку — есть ли какая-то конкретная задача, в решении которой достаточно явно видно преимущество применения теории категорий. Конечно, есть. Например, в https://web.math.princeton.edu/~nmk/mellin398.pdf исследуются какие-то совершенно конкретные вопросы про экспоненциальные суммы (я сам не специалист, впрочем), и получаются новые результаты с помощью нетривиального применения таннакиевых категорий, превратных пучков, и т. д. Кстати, и собственно гипотезы Вейля — совершенно конкретные утверждения про число решений полиномиальных уравнений над конечными полями — удалось доказать лишь с помощью применения серьезного аппарата алгебраической геометрии, построенного на категорном языке (во многом, для доказательства этих самых гипотез). То же можно сказать про гипотезы Каждана—Люстига. Примеров много, я называю то, что приходит в голову прямо сейчас и как-то близко к области моих интересов.

 
 
 
 Re: Предмет и метод современной математики
Сообщение04.01.2013, 21:53 
Аватара пользователя
Oleg Zubelevich в сообщении #667281 писал(а):
Вопрос риторический, ответ я знаю.
Ответ, я полагаю, по-вашему, отрицательный?

-- 04.01.2013, 20:55 --

apriv, спасибо за такой развёрнутый ответ.

 
 
 
 Re: Предмет и метод современной математики
Сообщение04.01.2013, 21:56 
apriv в сообщении #667286 писал(а):
Поэтому, например, огромное количество задач из алгебраической геометрии, алгебраической топологии, математического анализа, теории чисел, функционального анализа, дифференциальных уравнений, и т. д., решенных после того, как в соответствующих областях был применен аппарат теории категорий, можно отнести к таким результатам, о которых Вы спрашиваете.


а можно пример, желательно из диф. уравнений или функана?

 
 
 [ Сообщений: 43 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group