Предмет и метод современной математики

[Aritaborian]

Давайте уж сразу из матана, чтобы все поняли ;-)

[apriv]

Oleg Zubelevich в сообщении #667289 писал(а):

а можно пример, желательно из диф. уравнений или функана?

Я не специалист, но сразу приходит в голову соответствие Римана—Гильберта (обобщение 21-ой проблемы Гильберта; Сато, Кашивара...), которое формулируется на языке производных категорий. Ключевые слова — микролокальный анализ, D-модули, превратные пучки.

[Oleg Zubelevich]

apriv в сообщении #667296 писал(а):

(обобщение 21-ой проблемы Гильберта; Сато, Кашивара...), которое формулируется на языке производных категорий

сама проблема, как пишут здесь http://www.ima.umn.edu/preprints/June90Series/660.pdf была решена Болибрухом, посмотрел соответствующие тексты, теории категорий не обнаружил.
Если обобщение этой проблемы само сформулировано в категорных терминах на уровне постановки задачи, тогда это понятно, но это не то очем я спрашивал.

[apriv]

21-ая проблема Гильберта говорит о римановых поверхностях, то есть, о многообразиях размерности 1. Упомянутое обобщение касается многообразий произвольной размерности, и при желании его (пусть и не в полной общности) можно формулировать и без производных категорий (нужно правильно понять, какой там аналог монодромии)

[Oleg Zubelevich]

Во всяком случае, спасибо. Я этот вопрос несколько раз задавал, Вы отвечаете наиболее содержательно. Я сталкивался с теорией категорий в текстах по функциональным пространствам (интерполяция пространств $[L^p,L^q]$ и т.п.) и в учебнике Хелемского по функциональному анализу. В обоих случаях сложилось впечатление, что это некоторая красивая игрушка, которая по существу дела ничего не добавляет.

[apriv]

Про функциональный анализ все еще проще — достаточно посмотреть на работы Гротендика по банаховым пространствам, которые пронизаны духом теории категорий. Например, то, что сейчас называется «неравенством Гротендика» (с константой Гротендика) у него изначально сформулировано как эквивалентность каких-то двух функторов (хоть и без слова «функтор»); позднее Картье переформулировал это как неравенство для матриц. Ну, и введение топологии на тензорном произведении двух локально выпуклых пространств тоже показывает функториальный стиль мышления.

[Munin]

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #667327 писал(а):

Во всяком случае, спасибо.

Вау. Редкий день, он войдёт в анналы форума.

-- 05.01.2013 02:01:18 --

apriv в сообщении #667271 писал(а):

учебник для школьников — F. W. Lawvere, R. Rosebrugh, «Sets for Mathematics», и Lawvere еще много чего на эту тему написал (и на тему теории топосов вообще).

Спасибо, скачал, буду пытаться читать :-)

[Oleg Zubelevich]

apriv в сообщении #667344 писал(а):

Про функциональный анализ все еще проще — достаточно посмотреть на работы Гротендика по банаховым пространствам, которые пронизаны духом теории категорий. Например, то, что сейчас называется «неравенством Гротендика»

http://www-stat.wharton.upenn.edu/~stee ... ndieck.pdf
теории категорий не обнаружил, в данной редакции, по крайней мере, так, что пока убедительного "да" в ответ на мой вопрос не просматривается

[apriv]

Это же не работы Гротендика, правда? Мало ли чему можно постфактум (лет через тридцать) дать элементарное доказательство, совершенно безыдейное. Стиль мышления в прорывных работах Шварца и Гротендика по функциональному анализу совершенно категорный.

[g______d]

В теории $C^*$-алгебр, которую можно считать разделом функционального анализа, базовые результаты формулируются проще всего в терминах эквивалентности категорий. Еще есть некоммутативная геометрия. Еще сейчас довольно модная вещь "Operator Space Theory", наука о подпространствах $B(H)$. У меня сейчас не очень удобный интернет, я позже могу привести ссылки (впрочем, довольно многое легко гуглится).

[Munin]

g______d в сообщении #667458 писал(а):

Еще есть некоммутативная геометрия.

Кстати, а на эту тему чего-нибудь простое и вводное посоветуете?

[g______d]

Не знаю, самый ли это удачный вариант, но сам автор довольно интересен, в том числе и для физиков (слушал его курс)

http://www.maths.qmul.ac.uk/~majid/Teac ... Cnotes.pdf

[Munin]

Спасибо!