Предмет и метод современной математики

[Mitrius_Math]

Каковы предмет и метод современной математики? Верно ли, что современная математика изучает специфические множества, отношения, отображения и структуры аксиоматическим методом? Под структурами здесь понимаются упорядоченные наборы (пары, тройки и т.д.) множеств, отображений и отношений. Например, группа есть упорядоченная пара, состоящая из непустого множества и бинарной операции, определённой на этом множестве, функция одного комплексного аргумента есть отображение множества комплексных чисел в себя, операция сложения вещественных чисел - это отображение декартова квадрата множества вещественных чисел в множество вещественных чисел, сами действительные числа есть алгебраическая структура (упорядоченная тройка), состоящая из множества действительных чисел, двух бинарных операций (сложения и умножения), а также отношения частичного порядка.

[Munin]

Mitrius_Math в сообщении #666104 писал(а):

Каковы предмет и метод современной математики?

Присоединяюсь к вопросу, если чо.

Mitrius_Math в сообщении #666104 писал(а):

Верно ли, что современная математика изучает специфические множества, отношения, отображения и структуры аксиоматическим методом? Под структурами здесь понимаются упорядоченные наборы (пары, тройки и т.д.) множеств, отображений и отношений.

Насколько я понимаю, всё это - до некоторого уровня, а потом начинается такой язык, на котором заниматься переводом всего этого в термины множеств и наборов - излишняя трата сил. Где-то на уровне категорий. Категории позволяют описать изучаемый объект проще, чем множества и упорядоченные наборы того-сего. И более эффективно, обращая внимание именно на то, что интересно.

[alcoholist]

Mitrius_Math в сообщении #666104 писал(а):

аксиоматическим методом

есть и конструктивная математика

[Oleg Zubelevich]

Mitrius_Math в сообщении #666104 писал(а):

Каковы предмет и метод современной математики?

а что такое "предмет" и что такое "метод"? И начиная с какого года математика считается "современной"

[Mitrius_Math]

Oleg Zubelevich в сообщении #666150 писал(а):

а что такое "предмет" и что такое "метод"?

Общеизвестно.

Oleg Zubelevich в сообщении #666150 писал(а):

И начиная с какого года математика считается "современной"

Не знаю.

[nikvic]

Oleg Zubelevich в сообщении #666150 писал(а):

И начиная с какого года математика считается "современной"

Примерно с Гёделя.

[Oleg Zubelevich]

nikvic в сообщении #666256 писал(а):

Примерно с Гёделя.

ну допустим, хотя это совершенно произвольный ответ. Да и прожил Гедель почти весь 20 век.

Mitrius_Math в сообщении #666251 писал(а):

Общеизвестно.

в таких случаях надо говорить: "не знаю", чтоб не делать смешно собеседнику.

[Mitrius_Math]

Oleg Zubelevich в сообщении #666264 писал(а):

в таких случаях надо говорить: "не знаю", чтоб не делать смешно собеседнику.

Очень просто: предмет - что изучает математика, метод - как она это делает.
Уверен, что вопрос, заданный в заглавном сообщении темы, ясен без дополнительных комментариев.

(Оффтоп)

А что с тем, что надо и не надо говорить, я разберусь самостоятельно.

[nikvic]

Oleg Zubelevich в сообщении #666264 писал(а):

хотя это совершенно произвольный ответ. Да и прожил Гедель почти весь 20 век.

Речь, конечно, о его двух теоремах - об ограниченности аксиоматического ("формального") подхода.

Но можно сдвинуть порог и на уровень Д.Гильберта

[Aritaborian]

Предмет и метод — общенаучные понятия.

Munin в сообщении #666119 писал(а):

Где-то на уровне категорий. Категории позволяют описать изучаемый объект проще, чем множества и упорядоченные наборы того-сего.

Всегда хотел спросить. Много слышал о том, что теория категорий, а не теория множеств, считается теперь основанием математики. Но ведь основным, неопределяемым понятием, всё равно остаётся множество, и это понятие участвует в определении категории? Как это совмещается? У меня в голове — слабо ;-)

[Oleg Zubelevich]

Mitrius_Math в сообщении #666266 писал(а):

Очень просто: предмет - что изучает математика, метод - как она это делает.

так у вас в головном посте говорится об объектах, которые определяются аксиоматически , а потом оказывается что они изучаются

Mitrius_Math в сообщении #666104 писал(а):

аксиоматическим методом

так где объект изучения и где метод?

Mitrius_Math в сообщении #666266 писал(а):

Уверен, что вопрос, заданный в заглавном сообщении темы, ясен без дополнительных комментариев.

это пройдет

-- Ср янв 02, 2013 18:46:22 --

nikvic в сообщении #666270 писал(а):

Речь, конечно, о его двух теоремах - об ограниченности аксиоматического ("формального") подхода.

так я не возражаю, просто реально эти теоремы оказали влияние только на очень ограниченный круг вопросов, которые связаны с основаниями математики. Например, раздел "дифференциальные уравнения" этого вообще никак не почувствовал

[nikvic]

Oleg Zubelevich в сообщении #666275 писал(а):

так я не возражаю, просто реально эти теоремы оказали влияние только на очень ограниченный круг вопросов, которые связаны с основаниями математики. Например, раздел "дифференциальные уравнения" этого вообще никак не почувствовал

Так всё зависит от толщины слоя самого понятия "современная математика". Сейчас дифуры залезают в этот слой только через вычисления - а они рождены Гёделем с Тьюрингом.
Хотя знания у меня здесь маловаты.

[Oleg Zubelevich]

nikvic в сообщении #666313 писал(а):

ак всё зависит от толщины слоя самого понятия "современная математика". Сейчас дифуры залезают в этот слой только через вычисления - а они рождены Гёделем с Тьюрингом.
Хотя знания у меня здесь маловаты.

не понял как теоремы Геделя о неполноте используются в вычислительных методах дифференциальных урарвнений

[nikvic]

Oleg Zubelevich в сообщении #666320 писал(а):

как теоремы Геделя о неполноте используются в вычислительных методах дифференциальных урарвнений

Первая теорема (точнее, её доказательство) - завуалированное изложение теории алгоритмов с её идеей универсальной программы/алгоритма и теоремой о невычислимости некоторых функций.
Ну, с моей кочки зрения.

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #666275 писал(а):

Например, раздел "дифференциальные уравнения" этого вообще никак не почувствовал

Ничего себе заявленьице. А как функан без теории множеств строить, не расскажете? И как дифуры рассматривать без функана?

nikvic в сообщении #666313 писал(а):

Так всё зависит от толщины слоя самого понятия "современная математика". Сейчас дифуры залезают в этот слой только через вычисления

Да вы что. Дифуры - это один из самых изучаемых в математике объектов, только часто они имеют разные облики, и другие названия: отображения, кривые, многообразия, поля, ростки, динамические системы...