Пересечение прямой и окружности

[Алексей К.]

Hrundel в сообщении #666424 писал(а):

Да логику понял, спасибо.

Признаться, хотелось бы убедиться, что Вы правильно довели это дело до конца (можно совсем кратко отчитаться ).
А про расстояние сейчас напишу.

-- 03 янв 2013, 00:36:30 --

Из привычного уравнения прямой

$$y=kx+b =[x\tan\tau+b]\eqno(1)$$

легко получим уравнение

$$Ax+By+L=\left[-x^{\strut}\sin\tau+y\cos\tau-b\cos\tau_{\strut}\right]=0,\eqno(2)$$

имеющее то свойство, что $A^2+B^2=1$. Это и есть "нормированное" уравнение прямой. Ещё одно преимущество уравнения (2) по сравнению с (1) --- оно способно описать и вертикальную прямую, тогда как (1) --- только наклонную или горизонтальную.

Если уравнение нормировано, то величина $Ax+By+L$ как раз и равна расстоянию от точки $(x,y)$ до прямой. Мне бы следовало написать $|Ax+By+L|$, но без модуля там ещё получается знак, особо любопытным позволяющий определить, с какой стороны от прямой находится точка $(x,y)$.

Вас, насколько я помню, интересовало расстояние от начала координат до прямой. Но я плохо помню координаты начала координат (и лень лезть в справочник). Если Вы их знаете, то просто подставьте в формулу. И получите расстояние.

[Hrundel]

Алексей, большое спасибо, правда такую запись я действительно не понимаю. Мы к такой не обращаемся. Смысл конечно ясен. Но не ясно что такое A, B и L. У нас есть так называемое уравнение Гессе. Hessesche Normalform. Как ни странно, параллельной статьи на русском в Википедии нет. Выглядит так:

$$d = \mathop a\limits^ \to \cdot \mathop n\limits^ \to 0 $$

Но я не могу понять откуда а нем вектор а и что это за вектор. Так бы я уже закончил решение. Поищу еще в литературе. Просто что-то упустил.

Я думал в российском образовании, тоже используются подобные уравнения.

А точку касания конечно нашел:

$$P = \left( {1\frac{3} {5},2\frac{1} {5}} \right)$$

[AKM]

Hrundel в сообщении #666460 писал(а):

А точку касания конечно нашел:

Касательных две, и точек касания две. Вы привели одну (похоже, правильную). Но Вас не об этом в задаче просили: надо было найти $b$, два значения.

[Алексей К.]

Hrundel в сообщении #666460 писал(а):

Но не ясно что такое A, B и L.

Так я специально написал уравнение (2) в особо развёрнутом виде. Из которого следует, что $A$ --- это коэффициент при $x$, то есть $A=-\sin\tau$. $L$ --- это свободный член, то есть $L=-b\cos\tau$.

-- 03 янв 2013, 01:48:57 --

Hrundel в сообщении #666460 писал(а):

Выглядит так:

$$d = \mathop a\limits^ \to \cdot \mathop n\limits^ \to 0 $$

$$d=\vec{a}\cdot\vec{n}$$

Ваше: $$d = \mathop a\limits^ \to \cdot \mathop n\limits^ \to 0 $$  (ужас какой-то -:)
Моё: $$d=\vec{a}\cdot\vec{n}$$

А пока, наверное, посплю.

-- 03 янв 2013, 01:58:03 --

Ну и что? Там: вектор $\vec{a}=(x,y)$ --- радиус-вектор произвольной точки на прямой. Вектор $\vec{n}=(\cos\nu,\sin\nu)$ --- вектор нормали. Распишите скалярное произведение, получите уравнение прямой в координатном представлении (практически совпадающее с моим). А Ваше --- как бы в векторном. Одно другому не мешает. Я, например, к векторным штукам не привык.

Различия возникнут, например, в том, что я в своей записи пользовался направляющим вектором $(\cos\tau,\sin\tau)$, а не нормалью $(\cos\nu,\sin\nu)$. А очевидное равенство $\nu=\tau\pm90^\circ$ их примиряет.

[Алексей К.]

Hrundel в сообщении #666460 писал(а):

Я думал в российском образовании, тоже используются подобные уравнения.

Это не вопрос российского или нероссийского образования (конечно, они используются). Это вопрос из другой плоскости:
(1) понимаем ли мы досконально каждый написанный крючочек, каждую формулу?
(2) или относимся к ним как к набору каких-то (дурацких?) правил, которые надо зазубрить, сдать, итп.

Оба варианта отношения к математике встречаются и в российском, и в нероссийском "образовании". И там, и тут обучение по принципу (2) не является, по сути, образованием, а есть лишь посещение занятий и выполнение прочих формальностей в конкретном университете.

Понимаете ли Вы смысл каждой закорючки в той формуле со скалярным произведением? Понимаете ли Вы досконально, до мельчайших деталей, что она верна для любой точки на некой прямой (на какой прямой?), и неверна для любой точки вне этой прямой, и поэтому является уравнением этой прямой?