2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Система нелинейных уравнений
Сообщение30.12.2012, 15:17 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
$$
\begin{cases}
x^y=z \\
y^z=x \\
z^x=y
\end{cases}
$$
Мне удалось решить только частный случай $x, y, z\ge 0$
1. $x=0\to z=0\to y=0$ нет решений, так как $0^0$ не определено.
2. $x=1\to z=1\to y=1$ одно решение (1, 1, 1)
3. $x, y, z>1$ -- принцип крайнего. $\text{WLOG}\quad x=\max\{{x, y, z}\}\to z>x\to \text{contradiction}$ -- решений нет.
4. $0<x, y, z<1$ -- принцип крайнего. $\text{WLOG}\quad x=\max\{{x, y, z}\}\to z>x\to \text{contradiction}$ -- решений нет.
Таким образом, имеем ровно одно решение в неотрицательных вещественных: (1, 1, 1).

Как быть с ортицательными? И вообще, сколько будет, например, $(-\frac{1}{3})^{\sqrt 2}$?
А если $x, y, z\text{вообще}\in\mathbb C$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Система нелинейных уравнений
Сообщение30.12.2012, 15:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
В отрицательных имеем ещё решение (-1,-1,-1), а комплексные дробные степени многозначны, и там что угодно может быть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Система нелинейных уравнений
Сообщение30.12.2012, 15:37 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
ИСН в сообщении #665416 писал(а):
В отрицательных имеем ещё решение (-1,-1,-1), а комплексные дробные степени многозначны, и там что угодно может быть.

Что понимать под многозначностью?

 Профиль  
                  
 
 Re: Система нелинейных уравнений
Сообщение30.12.2012, 15:40 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Ktina в сообщении #665417 писал(а):
Что понимать под многозначностью?
Многозначность логарифма: $z^w=\exp{(w\log{z})}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Система нелинейных уравнений
Сообщение30.12.2012, 15:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
$(-\frac{1}{3})^{\sqrt 2}={{1\over3^\sqrt2}}\cdot e^{\sqrt2(\pi+2\pi n)i}$, например.

-- Вс, 2012-12-30, 16:44 --

Тупо: $1^{1/4}$ имеет четыре значения. $1^\sqrt2$ имеет их дохрена.

 Профиль  
                  
 
 Re: Система нелинейных уравнений
Сообщение30.12.2012, 15:47 


30/12/12
146
вот что интересно, для любого числа комплексная степень неоднозначна вследствие неоднозначности в полярном представлении угла
но почему тогда экспонента считается однозначной функцией?
Ведь когда мы число е возводим в степень, тоже можем углы намотать)

 Профиль  
                  
 
 Re: Система нелинейных уравнений
Сообщение30.12.2012, 15:55 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
LeontiiPavlovich в сообщении #665421 писал(а):
но почему тогда экспонента считается однозначной функцией?

Потому, что у неё есть ровно одна ветвь, для которой экспонента вещественно-аналитична, причём эта ветвь никак не сцеплена с остальными (собственно, все ветви друг с дружкой не сцеплены). Поэтому "намотать углы" мы не сможем -- можем лишь перепрыгивать с одной ветки на другую, но это лучше в Африке.

 Профиль  
                  
 
 Re: Система нелинейных уравнений
Сообщение30.12.2012, 16:00 


30/12/12
146
а почему для других чисел это не прокатит?

 Профиль  
                  
 
 Re: Система нелинейных уравнений
Сообщение30.12.2012, 16:04 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Вот ровно для любого положительного и прокатывает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Система нелинейных уравнений
Сообщение30.12.2012, 16:05 


30/12/12
146
аа все понял, а если мы просто число е возводим в степень, то можно забыть об аналитичности?
чем это число хуже других?

-- 30.12.2012, 17:06 --

Цитата:
Вот ровно для любого положительного и прокатывает.
а вот и не прокатывает, и ИСН привел пример, $1^{\sqrt{2}}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Система нелинейных уравнений
Сообщение30.12.2012, 16:11 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
LeontiiPavlovich в сообщении #665426 писал(а):
Цитата:
Вот ровно для любого положительного и прокатывает.
а вот и не прокатывает, и ИСН привел пример, $1^{\sqrt{2}}$

А это пример на совершенно другую тему: здесь $1$ -- это переменная, а $\sqrt{2}$ -- константа. В случае же с показательной функцией всё наоборот.

 Профиль  
                  
 
 Re: Система нелинейных уравнений
Сообщение30.12.2012, 16:13 


30/12/12
146
а если мы возьмем число е как переменную, тк как обычное рядовое число?

 Профиль  
                  
 
 Re: Система нелинейных уравнений
Сообщение30.12.2012, 16:24 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Вот и надо определиться, какое число мы считаем переменной, а какое константой -- и потом строго этого придерживаться. Результаты окажутся совершенно разными: степенная функция многолистна при любом комплексном показателе (кроме целых), показательная же (т.е. любая её ветвь) -- однолистна при любом комплексном основании (кроме нуля, конечно). И при этом среди ветвей показательной функции только при положительных основаниях есть выделенная (вещественно-аналитическая) ветвь -- при остальных основаниях такой естественной ветви выделить нельзя.

 Профиль  
                  
 
 Re: Система нелинейных уравнений
Сообщение30.12.2012, 16:54 


30/12/12
146
Цитата:
И при этом среди ветвей показательной функции только при положительных основаниях есть выделенная (вещественно-аналитическая) ветвь -- при остальных основаниях такой естественной ветви выделить нельзя.
а если при остальных взять главную часть логарифма?

 Профиль  
                  
 
 Re: Система нелинейных уравнений
Сообщение31.12.2012, 21:03 


29/12/12
52
Подставим третье уравнение во второе, а потом в первое и получим
$z^{xyz-1}=1$
Если оставаться в области действительных чисел, то есть только две возможности:
z=1 и z=-1. Отсюда легко получаются приведенные решения.
В общем случае имеем
$\mod(z)=1 $
Следовательно
$\mod(x)=\mod(y)=1$
и можно ввести новые переменные по формулам
$x=e^{i\alpha}\ 
y=e^{i\beta}\ 
z=e^{i\gamma} $
где $\alpha, \beta, \gamma $ уже действительные числа.
Тогда первое уравнение преврашается в
$e^{i\alpha e^{i\beta}}=e^{i\gamma }$
из него получается:
$i\alpha e^{i\beta}=i\gamma$
т.е. $e^{i\beta}$ действительное число и значит x,y,z действительные числа.
Таким образом рассмотрения многолистных функций удается избежать.
Кстати $i^i=\frac1{\sqrt{e^\pi}}$ (одно из значений)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group