Система нелинейных уравнений

[Ktina]

$$ \begin{cases} x^y=z \\ y^z=x \\ z^x=y \end{cases} $$

Мне удалось решить только частный случай $x, y, z\ge 0$
1. $x=0\to z=0\to y=0$ нет решений, так как $0^0$ не определено.
2. $x=1\to z=1\to y=1$ одно решение (1, 1, 1)
3. $x, y, z>1$ -- принцип крайнего. $\text{WLOG}\quad x=\max\{{x, y, z}\}\to z>x\to \text{contradiction}$ -- решений нет.
4. $0<x, y, z<1$ -- принцип крайнего. $\text{WLOG}\quad x=\max\{{x, y, z}\}\to z>x\to \text{contradiction}$ -- решений нет.
Таким образом, имеем ровно одно решение в неотрицательных вещественных: (1, 1, 1).

Как быть с ортицательными? И вообще, сколько будет, например, $(-\frac{1}{3})^{\sqrt 2}$?
А если $x, y, z\text{вообще}\in\mathbb C$?

[ИСН]

В отрицательных имеем ещё решение (-1,-1,-1), а комплексные дробные степени многозначны, и там что угодно может быть.

[Ktina]

ИСН в сообщении #665416 писал(а):

В отрицательных имеем ещё решение (-1,-1,-1), а комплексные дробные степени многозначны, и там что угодно может быть.

Что понимать под многозначностью?

[nnosipov]

Ktina в сообщении #665417 писал(а):

Что понимать под многозначностью?

Многозначность логарифма: $z^w=\exp{(w\log{z})}$.

[ИСН]

$(-\frac{1}{3})^{\sqrt 2}={{1\over3^\sqrt2}}\cdot e^{\sqrt2(\pi+2\pi n)i}$, например.

-- Вс, 2012-12-30, 16:44 --

Тупо: $1^{1/4}$ имеет четыре значения. $1^\sqrt2$ имеет их дохрена.

[LeontiiPavlovich]

вот что интересно, для любого числа комплексная степень неоднозначна вследствие неоднозначности в полярном представлении угла
но почему тогда экспонента считается однозначной функцией?
Ведь когда мы число е возводим в степень, тоже можем углы намотать)

[ewert]

LeontiiPavlovich в сообщении #665421 писал(а):

но почему тогда экспонента считается однозначной функцией?

Потому, что у неё есть ровно одна ветвь, для которой экспонента вещественно-аналитична, причём эта ветвь никак не сцеплена с остальными (собственно, все ветви друг с дружкой не сцеплены). Поэтому "намотать углы" мы не сможем -- можем лишь перепрыгивать с одной ветки на другую, но это лучше в Африке.

[LeontiiPavlovich]

а почему для других чисел это не прокатит?

[ewert]

Вот ровно для любого положительного и прокатывает.

[LeontiiPavlovich]

аа все понял, а если мы просто число е возводим в степень, то можно забыть об аналитичности?
чем это число хуже других?

-- 30.12.2012, 17:06 --

Цитата:

Вот ровно для любого положительного и прокатывает.

а вот и не прокатывает, и ИСН привел пример, $1^{\sqrt{2}}$

[ewert]

LeontiiPavlovich в сообщении #665426 писал(а):

Цитата:

Вот ровно для любого положительного и прокатывает.

а вот и не прокатывает, и ИСН привел пример, $1^{\sqrt{2}}$

А это пример на совершенно другую тему: здесь $1$ -- это переменная, а $\sqrt{2}$ -- константа. В случае же с показательной функцией всё наоборот.

[LeontiiPavlovich]

а если мы возьмем число е как переменную, тк как обычное рядовое число?

[ewert]

Вот и надо определиться, какое число мы считаем переменной, а какое константой -- и потом строго этого придерживаться. Результаты окажутся совершенно разными: степенная функция многолистна при любом комплексном показателе (кроме целых), показательная же (т.е. любая её ветвь) -- однолистна при любом комплексном основании (кроме нуля, конечно). И при этом среди ветвей показательной функции только при положительных основаниях есть выделенная (вещественно-аналитическая) ветвь -- при остальных основаниях такой естественной ветви выделить нельзя.

[LeontiiPavlovich]

Цитата:

И при этом среди ветвей показательной функции только при положительных основаниях есть выделенная (вещественно-аналитическая) ветвь -- при остальных основаниях такой естественной ветви выделить нельзя.

а если при остальных взять главную часть логарифма?

[DrVirogov]

Подставим третье уравнение во второе, а потом в первое и получим
$z^{xyz-1}=1$
Если оставаться в области действительных чисел, то есть только две возможности:
z=1 и z=-1. Отсюда легко получаются приведенные решения.
В общем случае имеем
$\mod(z)=1 $
Следовательно
$\mod(x)=\mod(y)=1$
и можно ввести новые переменные по формулам
$x=e^{i\alpha}\ y=e^{i\beta}\ z=e^{i\gamma} $
где $\alpha, \beta, \gamma $ уже действительные числа.
Тогда первое уравнение преврашается в
$e^{i\alpha e^{i\beta}}=e^{i\gamma }$
из него получается:
$i\alpha e^{i\beta}=i\gamma$
т.е. $e^{i\beta}$ действительное число и значит x,y,z действительные числа.
Таким образом рассмотрения многолистных функций удается избежать.
Кстати $i^i=\frac1{\sqrt{e^\pi}}$ (одно из значений)