Базисы Гребнера/Гаусса

[Boar]

что такое базис Гребнера, многие знают. есть какое-то понятие, свзанное с идеалами, называемое базисом Гаусса. что это такое, подскажите пожалуйста, а то курсовая горит)

[lofar]

Рассмотрим идеал $I\lhd k[x_1,\ldots,x_n]$ порожденный линейными формами $F_i=a_{i1}x_1+\ldots+a_{in}x_n$, $i=1,\ldots,m$. Классический алгоритм Бухбергера нахождения базиса Гребнера идеала $I$ по порождающим $F_i$ эквивалентен приведению матрицы

$$\left(\begin{array}{ccc} a_{11}&\ldots&a_{1m}\\ \multicolumn{3}{c}{\dotfill}\\ a_{n1}&\ldots&a_{nm}\\ \end{array}\right)$$

к ступенчатому виду методом Гаусса. Именно эту связь обычно упоминают, говоря о том, что алгоритм Бухбергера обобщает алгоритм Гаусса.

[Boar]

у нас есть многочлены над R: {f_1,...f_m}
они зависят от переменных x_1,....x_n и уборядочены в обратном лексикографическом порядке. Дальше производится некоторая процедура над этими многочленами, допустим мы получаем многочлены ф_1,....,ф_m. Вопрос такой - всегда ли это является базисом гребнера для идеала I(f_1,...f_m).
Насчет процедуры у меня больше всего сомнений, мне кажется разумноделать следующее:
идя по порядку от m к еденице для каждого i находим минимальный многочлен для f_i - обозначим его M(f_i). Минимальный многочлен - это видимо такой многочлен минимальной степени, что его старший член делится на старший член какого-либо f_j, где j<i. Тогда за ф_i примем такое выражение: M(f_i) - M(f_j).
Вроде на этом условие закончено. Я хочу спросить, насколько содержательна такая задача и каким методом, кроме программного ее можно решать. Может быть, есть более интересные способы выбора этих ф_i. Буду рад любым комментариям.

[lofar]

Ваш алгоритм не построит базиса Гребнера исходного идеала.

Для того, чтобы разобраться в этом вопросе советую Вам прочитать первые 2 главы этой книжки. Книга не сложная, написана понятным языком.