Собственные значения и векторы

[ewert]

Евгений Машеров в сообщении #664327 писал(а):

Для симметрической матрицы вообще не бывает геометрической кратности. Это Вас куда-то несёт...

Ну кого куда несёт -- это понятие относительное, как относительно и движение вообще. Всё зависит от выбора системы отсчёта.

Понятие геометрической кратности имеет смысл для всех матриц, и даже не только матриц, но и вообще для всех линейных операторов какой угодно природы. В отличие от алгебраической кратности.

Евгений Машеров в сообщении #664289 писал(а):

Соответственно, надо доработать вычислительную процедуру, скажем, если обратными итерациями считаем - надо для следующего брать начальное приближение ортогональное уже найденным, и по ходу может понадобиться ортогонализация.

Я, кажется, понял, в чём проблема. Вы просто путаете общие определения с конкретными численными алгоритмами построения соответствующих объектов. Последнее, конечно, определяется первым, но никак не наоборот.

[Евгений Машеров]

Я пользуюсь определениями из "Воеводин В.В., Кузнецов Ю.Л. Матрицы и вычисления. М., Наука, 1984"
7.29 Кратность собственного значения, как корня характеристического многочлена называется алгебраической кратностью
7.30 Максимальное число линейно независимых собственных векторов, относящихся к данному собственному значению, называется геометрической кратностью собственного значения.

[nnosipov]

Евгений Машеров в сообщении #664777 писал(а):

7.30 Максимальное число линейно независимых собственных векторов, относящихся к данному собственному значению, называется геометрической кратностью собственного значения.

Отлично. Ну и как прикажете тогда понимать Вашу фразу "для симметрической матрицы вообще не бывает геометрической кратности" в свете этого определения?

[Евгений Машеров]

А имел я в виду, собственно, вот что: алгебраическая и геометрическая кратность совпадают только в случае матриц простой структуры, и тогда не существует "алгебраической" и "геометрической" отдельно, просто кратность, но по сообщению топикстартера можно узнать только алгебраическую, и может быть, у него лишь один на всех собственный вектор, может, четыре, может, промежуточная ситуация, нужна дополнительная информация (ну, например, что матрица симметрическая - тогда она заведомо простой структуры).

[bot]

Ну, если судить по стартовому сообщению, то выбор у него небогатый - либо геометрическая кратность равна 1, либо 2, но в последнем случае вопрос бы вообще не возник - изначальная матрица была бы просто скалярной. Весь трёп (или почти весь) был около общей ситуации, когда матрица была бы бОльшего размера, чем $2\times 2$.

[ewert]

Евгений Машеров в сообщении #664777 писал(а):

Максимальное число линейно независимых собственных векторов, относящихся к данному собственному значению

"Максимальное число векторов" -- это некий эвфемизм или, если угодно, анахронизм (поскольку подобные слова если и могли произноситься, то раньше по курсу, при определении понятия размерности). На данный момент ровно то же самое должно было произноситься как "размерность собственного подпространства".

-- Пт дек 28, 2012 19:40:18 --

Да, кстати: при этом конкретно к книжке Воеводина с Кузнецовым я отношусь с глубочайшим уважением; по-моему, исключительно грамотная книжка. Только надо уметь её читать.

[Евгений Машеров]

Ну, я так понял стартовое сообщение, что одинаковы оказались два с.з. из вычисленных, а их могло быть и больше.