Координатное и импульсное представление

[grandmix]

Ребят. Вообщем такие дела. Начнем по порядку. Вот у нас Де-Бройль установил, что с частицей можно связать длину волны , а Борн говорит, что это волны вероятности обнаружения частицы в данном месте. Шрёдингер вывел уравнение, решение которого есть функция в пространстве, показывающая вероятность нахождения частицы в каждой точке (точнее квадрат этой функции). Далее Дирак вводит новые обозначения. А именно вектора состояний для конкретной функции пси, которая есть решение уравнения Шредингера. Доказываются теоремы, что любой вектор состояния может быть представлен линейной комбинацией собственных векторов. Вводится наблюдаемая и её оператор.
Далее говорится о неком координатном представлении и импульсном (представлении чего?) . зачем их вводят не совсем ясно.я так понял это для функции пси вводят координатные представления вектора пси в гильбертовом пространстве. а затем ещё и интеграл берется откуда ни возьмись в этом же пространстве! уж я то думал, что тут можно будет и без него обойтись, ан нет. не тут то было. вообщем непонятно откуда берется интеграл и зачем вводят координатное , а затем ещё и импульсное представление. Если кто знает или может расшифровать, пожалуйста не проходите мимо!

[Munin]

grandmix в сообщении #664961 писал(а):

Далее говорится о неком координатном представлении и импульсном (представлении чего?) .

На этот момент, у вас есть система из таких компонент:
- векторы состояния
- операторы наблюдаемых
- другие операторы, которые нужны (например, оператор эволюции)
- другие величины, не являющиеся операторами (например, матрица плотности; впрочем, о ней можно говорить как об операторе...)
Эти все вещи образуют линейную алгебру. Она (если идти дорожкой от Шрёдингера) записана в некотором базисе. Но суть линейной алгебры не меняется от того, какой используется базис. Поэтому мы учимся менять базис, и переходить от одного к другому. Вот это и называется в физике новым представлением (этот термин в этом значении применяется только в физике).

Представление координатное - это представление, в котором диагональный вид имеют операторы координат.
Представление импульсное - это представление, в котором диагональный вид имеют операторы импульсов.
Представление энергетическое - это представление, в котором диагональный вид имеет оператор энергии.
Есть и некоторые более узкоспециальные представления, например, представление момента импульса.

grandmix в сообщении #664961 писал(а):

я так понял это для функции пси вводят координатные представления вектора пси в гильбертовом пространстве. а затем ещё и интеграл берется откуда ни возьмись в этом же пространстве!

Интегралы берутся аналогично тому, как в "обыкновенной" конечномерной линейной алгебре берутся суммы - по координатам, по другим вещам. То есть, в некотором смысле, есть аналогия $\int\ldots dx\longleftrightarrow\sum\limits_{i}\ldots,$ где индекс $i$ пробегает по умолчательному базису, так же, как имеющая роль индекса координата $x,$ а в другом представлении $\int\ldots df\longleftrightarrow\sum\limits_{j}\ldots,$ соответственно.
Отличие от "обыкновенной" линейной алгебры в том, что конструкция бесконечномерная. Если подходить серьёзно, то последовательное построение бесконечномерной линейной алгебры происходит в отдельном курсе "функциональный анализ". Но в физике (в преподавании) часто обходятся без того, чтобы тратить на него время, и опираются только на знакомую линейную алгебру и несколько неформальные и бездоказательные аналогии. Например, дельта-функция соотносится с таким оператором: $\delta(x-x_0)\longleftrightarrow\operatorname{diag}(\ldots0,1_{i_0},0\ldots),$ и этой аналогии в физике достаточно.

Кроме того, в "обыкновенной" линейной алгебре на нематематических факультетах могут дать прежде всего действительные линейные пространства, а в физике используются комплексные. Они отличаются на комплексное сопряжение везде, где нужно взять скалярное произведение векторов.

Если говорить о физике, то в представлениях, отличающихся от координатного, часто более просто решаются многие конкретные задачи. Например, импульсное представление отличается от координатного на преобразование Фурье, которое превращает многие дифференциальные уравнения в алгебраические, что позволяет их намного легче решать. Некоторые представления выявляют в явном виде симметрии системы, тоже полезные для решения.

[grandmix]

Munin, преогромное спасибо! В который раз выручаете!! Ситуация начала более менее проясняться. теперь я так понимаю, ввод интеграла обусловлен тем, что у оператора координаты бесконечное число собственных векторов о они непрерывны. хотя не совсем ясно откуда эта непрерывность следует, разве что из здравого смысла, что я считаю пространство непрерывным и в любой точке может оказаться частица, отсюда и получится суперпозиция всех состояний , т.е. интеграл . Так же возник вопрос с записью уравнения Шредингера в координатном представлении. Собственно динамический постулат кв.механики в записи Шредингера :
$ih\frac{d}{dt}|\Psi (t)>=\overline{H}|\Psi (t)>$
а в координатном представлении
$ih\frac{d}{dt}\Psi (\bar{r},t)=-h^{2}\bar{\nabla^{2}}\Psi (\bar{r},t)+V(\bar{r})\Psi (\bar{r},t)$
что то я туплю, но не пойму как мы избавились от вектора в координатном представлении, и получили просто функции пси, хотя до этого это был вектор состояния.

[Nemiroff]

Есть вектор состояния - он описывает состояние физической системы, но он принадлежит некоторому, абстрактному пространству. Выбор конкретного представления - это переход к определенному базису. Совокупность коэффициентов разложения вектора по базису однозначно этот вектор характеризует, и после этого мы получаем возможность работать с числовыми функциями, а не с векторами из какого-то пространства.
Решение уравнения Шредингера - это именно вектор, волновые функции появляются после перехода к представлению. Например, в координатном представлении базис образуют собственные векторы оператора координаты, волновая функция также зависит от координаты. Операторы принимают конкретный вид - оператор координаты есть умножение на координату, оператор импульса, с точностью до множителя, есть производная по координате. Скалярное произведение принимает конкретный вид - это интеграл от произведения второй функции на сопряженную первую.
В импульсном представлении состояние характеризуется волновой функцией, зависящей от импульсов, операторы меняют свой вид, скалярное произведение есть интеграл уже по импульсам. Переход между этими двумя преобразованиями - преобразование Фурье (потому что собственные функции оператора импульса в координатном представлении - есть множитель в преобразовании Фурье).

grandmix в сообщении #665044 писал(а):

хотя не совсем ясно откуда эта непрерывность следует, разве что из здравого смысла, что я считаю пространство непрерывным и в любой точке может оказаться частица

Можно подействовать на вектор, собственный для оператора координаты, оператором сдвига, а затем заметить, что полученный вектор тоже собственный.

[Munin]

(Для угловых скобочек бра-кет-векторов есть специальные символы \langle и \rangle .)

Вектор в координатном представлении - это и есть функция пси, зависящая от координат. Аргумент функции играет роль индекса координат вектора. Координаты вектора просто совпадают со значениями функции: $|\Psi\rangle=\sum\Psi(x)|x\rangle.$ Это выражение можно подставить вместо $|\Psi\rangle,$ и получить уравнение на $\Psi(x).$

"На пальцах" непрерывность себе можно представить так. Рассмотрим функцию $f(x)$ в дискретных точках $x_i\equiv i\,\Delta x=i\cdot\mathrm{const}.$ Тогда о ней можно думать, как о векторе с координатами $f_i=f(x_i)\Delta x,$ и брать суммы вида $\sum\limits_{i\in S}a_if_i.$ Эти суммы будут в точности равны интегралам $\int\limits_{S}a(x_{\max i})f(x)dx$ для "ступенчатых" функций, кусочно-постоянных на интервалах $(x_i,x_{i+1}).$ Единичные базисные векторы будут функциями-"прямоугольниками" с основанием $\Delta x$ и высотой $1/\Delta x.$ Недостаток в том, что мы охватили не все возможные функции, а только некоторые. После этого, можно взять ото всей этой конструкции предел $\Delta x\to 0,$ и при этом будут охвачены (грубо говоря) все функции, а единичные базисные векторы превратятся в дельта-функции. Более правильное изложение (и свободное от некоторых пороков изложенной конструкции) можно прочитать в курсах функционального анализа.

[Nemiroff]

Можно так написать: $|\Psi\rangle=\sum |x\rangle\langle x |\Psi\rangle=\sum \Psi(x)|x\rangle,$ где $\Psi(x)=\langle x |\Psi\rangle$
Но, так как спектр непрерывный, а не дискретный, то суммирование так просто не проходит, единичный оператор должен быть интегральным, а не суммой: $|\Psi\rangle=\int |x\rangle\langle x|\Psi\rangle dx=\int \Psi(x)|x\rangle dx$
Вот это самое $\int |x\rangle\langle x| dx$ есть единичный оператор - это просто выражение того факта, что оператор координаты образует полный набор собственных векторов.

[grandmix]

Nemiroff,Munin спасибо большое!! ситуация стала яснее. вроде понимаю, вектор - это по сути какой то набор чисел (а может и не чисел, но вроде в данном случае это числа). каждый вектор можно расписать по собственным векторам.(или базису .то же самое как в линейной алгебре). при координатном представлении берут собственные вектора оператора координат в качестве базисных, далее для любого вектора в гильбертовом пространстве можно расписать линейную комбинации по базису. а коэффициенты перед каждым собственным вектором - есть значения волновой функции для именно этой координаты.
еще один вопрос почему многие операторы домножают (или не домножают?? тогда откуда она) на мнимую единицу и постоянную Планка? это для того чтобы он был эрмитовым в Гильбертовом пространстве*?

[Nemiroff]

grandmix в сообщении #665127 писал(а):

это для того чтобы он был эрмитовым в Гильбертовом пространстве*?

Ну например. Коммутатор двух эрмитовых операторов не эрмитов, зато коммутатор, поделенный на мнимую единицу - уже эрмитов.
Постоянная Планка, размерности ради, я полагаю. Плюс она по значению достаточно характерна для всей теории.

[Munin]

В системе единиц $\hbar=1,$ широко распространённой в квантовой физике, постоянной Планка в формулах нет :-) Так что роль её - чисто размерная. Величина действия, равная единице, в наших единицах измерения, появившихся задолго до открытия квантовых явлений, просто равна $\hbar.$ Аналогично тому, как можно электрический заряд измерять не в кулонах, а в числе зарядов электрона, или энтропию выражать не в Дж/К, а безразмерным числом.

Мнимая единица превращает друг в друга эрмитовы и антиэрмитовы (косоэрмитовы) операторы: $H^+=H,$ $(iH)^+=-iH.$ Антиэрмитовы операторы исключительно важны, поскольку экспоненты от них представляют собой унитарные операторы, сохраняющие все длины векторов: $e^{iH}=U,$ $U^+U=1.$ Кстати, это работает и в обратную сторону: логарифмы унитарных операторов - это антиэрмитовы операторы. В частности, для любого унитарного оператора $U^+U=e^{(iH)^+}e^{iH}=e^{-iH+iH}=1.$ Вообще, свойства эрмитовых, антиэрмитовых и унитарных операторов похожи (в некоторой степени, хотя я представляю себе отличия) на свойства действительных, мнимых чисел, и комплексных чисел на единичной окружности.

Эволюция в классической механике протекает в фазовом пространстве, и на нём надо нанести векторное поле, какие точки в какие переходят. В квантовой механике эволюция протекает на единичной сфере в векторном пространстве, и какие точки в какие переходят - выражается унитарным оператором.

[grandmix]

Еще раз большое спасибо всем, кто ответил,понимание постепенно приходит :)