Оператор Гильберта и оценка ряда

[no_use_for_a_login]

Оператор Гильберта задаётся матрицей $\{a_i_j\}_{i,j=1}^{\infty} = \frac{1}{i+j}$. Нужно показать, что в $l_2$ он ограничен и $||A|| \leqslant \pi$.

Здесь можно воспользоваться неравенством Шура, которое гласит, что если найдется вектор $p, p_i>0$, что
$\sum{a_i_jp_j} \leqslant \alpha p_i$
$\sum{a_i_jp_i} \leqslant \beta p_j $,
то $||A|| \leqslant \sqrt{\alpha\beta}$.

Так как оператор симметричен, $||A|| \leqslant \alpha$. Теперь нужно подобрать последовательность $\{p_j\}$. Здесь подойдет $p_j=\frac{1}{\sqrt{n}}$ (это точно верно). Получаем:
$\frac{1}{2} 1 + \frac{1}{3} \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{4} \frac{1}{\sqrt{3}}$ ... $ \leqslant \pi$.
$\frac{1}{3} 1 + \frac{1}{4} \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{5} \frac{1}{\sqrt{3}}$ ... $ \leqslant \frac{\pi}{\sqrt{2}}$.
$\frac{1}{4} 1 + \frac{1}{5} \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{6} \frac{1}{\sqrt{3}}$ ... $ \leqslant \frac{\pi}{\sqrt{3}}$.
...
А как сделать такую оценку непонятно Вроде как-то можно оценить арктангенсом.

[no_use_for_a_login]

Ряд оценивается интегралом, как раз получается арктангенс.