Оператор Гильберта задаётся матрицей

. Нужно показать, что в

он ограничен и

.
Здесь можно воспользоваться неравенством Шура, которое гласит, что если найдется вектор

, что


,
то

.
Так как оператор симметричен,

. Теперь нужно подобрать последовательность

. Здесь подойдет

(это точно верно). Получаем:

...

.

...

.

...

.
...
А как сделать такую оценку непонятно

Вроде как-то можно оценить арктангенсом.