2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Оператор Гильберта и оценка ряда
Сообщение28.12.2012, 19:28 
Оператор Гильберта задаётся матрицей $\{a_i_j\}_{i,j=1}^{\infty} = \frac{1}{i+j}$. Нужно показать, что в $l_2$ он ограничен и $||A|| \leqslant \pi$.

Здесь можно воспользоваться неравенством Шура, которое гласит, что если найдется вектор $p, p_i>0$, что
$\sum{a_i_jp_j} \leqslant \alpha p_i$
$\sum{a_i_jp_i} \leqslant \beta p_j $,
то $||A|| \leqslant \sqrt{\alpha\beta}$.

Так как оператор симметричен, $||A|| \leqslant \alpha$. Теперь нужно подобрать последовательность $\{p_j\}$. Здесь подойдет $p_j=\frac{1}{\sqrt{n}}$ (это точно верно). Получаем:
$\frac{1}{2} 1 + \frac{1}{3} \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{4} \frac{1}{\sqrt{3}}$ ... $ \leqslant \pi$.
$\frac{1}{3} 1 + \frac{1}{4} \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{5} \frac{1}{\sqrt{3}}$ ... $ \leqslant \frac{\pi}{\sqrt{2}}$.
$\frac{1}{4} 1 + \frac{1}{5} \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{6} \frac{1}{\sqrt{3}}$ ... $ \leqslant \frac{\pi}{\sqrt{3}}$.
...
А как сделать такую оценку непонятно :-( Вроде как-то можно оценить арктангенсом.

 
 
 
 Re: Оператор Гильберта и оценка ряда
Сообщение28.12.2012, 20:44 
Ряд оценивается интегралом, как раз получается арктангенс.

 
 
 [ Сообщений: 2 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group