"Причудливая" кривая

[alexo2]

nnosipov в сообщении #664001 писал(а):

$x^2=y^4+1$ (тривиально)
$2x^2=y^4-1$ (относительно легко)
$x^2=2y^4+1$ (чуть труднее)
$2x^2=y^4-17$ (всегда бы так было)
$x^2=2y^4-1$ (очень трудно)

Так, навскидку..
Первое доказывается представлением 4-ой степени квадратом.
Второе и третье - бесконечным спуском.
А вот четвертое - что-то не соображу...
Что-то запутался - а пятое вообще имеет решения (239, 13)...

[nnosipov]

Уравнение $x^3-(x-1)^3=y^5-(y-1)^5$ можно свести к уравнению $X^2-15Y^2=-6$, где $X=6x-3$, $Y=2y^2-2y+1$. Все решения последнего уравнения в натуральных числах $(X,Y)=(X_k,Y_k)$ находятся по формуле

$$ X_k+Y_k\sqrt{15}=(3+\sqrt{15})(4+\sqrt{15})^k, \quad k=0,1,2,\dots $$

Теперь нужно выяснить, при каких $k$ уравнение $Y_k=2y^2-2y+1$ будет разрешимо в натуральных числах $y$. Это равносильно вопросу о том, при каких $k$ число $2Y_k-1$ будет точным квадратом. Получить ответ на этот вопрос --- это и есть главная проблема. А она, по всей видимости, решается очень трудно. Вот ещё один пример подобной, но более известной проблемы: найти все числа Фибоначчи, которые являются точными квадратами.

alexo2 в сообщении #664159 писал(а):

А вот четвертое - что-то не соображу...

А это пример уравнения, где аналогичную проблему удаётся решить элементарными средствами --- всего лишь удачное стечение обстоятельств.

alexo2 в сообщении #664159 писал(а):

Что-то запутался - а пятое вообще имеет решения (239, 13)

Доказать, что других решений нет --- это опять очень сложно.

alexo2 в сообщении #664159 писал(а):

Первое доказывается представлением 4-ой степени квадратом.

Правильно.

alexo2 в сообщении #664159 писал(а):

Второе и третье - бесконечным спуском.

Есть более элементарный подход. Метод спуска нужен, если решать эти уравнения в рациональных числах.

[alexo2]

Спасибо за разъяснения, попробую последовательно разобраться.

[alexo2]

Интересно, а можно ли где-нибудь в нете найти ссылки на упоминаемое у Эдвардса, хоть и сложное, но элементарное (насколько я понял) доказательство того факта, что никакое треугольное число не может быть четвертой степенью?
Полезно было бы посмотреть используемые подходы и приемы. Мне кажется, что они будут такими же, которые необходимы и для доказательства последнего, самого сложного примера от nnosipov... И вполне могут пригодиться для док-ва исходного предположения этой темы..

[nnosipov]

alexo2 в сообщении #664734 писал(а):

на упоминаемое у Эдвардса, хоть и сложное, но элементарное (насколько я понял) доказательство того факта, что никакое треугольное число не может быть четвертой степенью

Точную ссылку (на какой стр. у Эдвардса) можете дать? Эта задача действительно связана с уравнением $x^2=2y^4-1$, а именно, может быть сведена к решению уравнения $x^4=2y^4-1$. Это последнее также не похоже на легко решаемое, поэтому было бы интересно найти здесь элементарный подход (если верить Эдвардсу, он должен быть).

[alexo2]

Вот нашел... В самом начале стр. 55 Эдвардс пишет:
"В заключение ещё одна теорема, которую легко сформулировать, но далеко не легко доказать: ни одно треугольное число большее 1 не является 4-ой степенью...Первое доказательство этого факта примерно через 150 лет было опубликовано в "Теории чисел" Лежандра"...

[nnosipov]

Спасибо. Ну что же, нужно читать товарища Лежандра. Было бы неплохо, если бы Вы разобрали это доказательство, а затем рассказали бы нам здесь. Я этого доказательства не знаю.

[alexo2]

nnosipov в сообщении #664775 писал(а):

Спасибо. Ну что же, нужно читать товарища Лежандра. Было бы неплохо, если бы Вы разобрали это доказательство, а затем рассказали бы нам здесь. Я этого доказательства не знаю.

Я - то бы с радостью - но у меня нет "Теории чисел" Лежандра и поиск "не рулит" Я поэтому и интересовался, может где-то есть хотя бы в отдельности приведенное доказательство...

[nnosipov]

nnosipov в сообщении #664742 писал(а):

может быть сведена к решению уравнения $x^4=2y^4-1$

В "Mordell L.J. Diophantine equations (AP, 1969)(KA)(ISBN 0125062508)(600dpi)(T)(326s)_MT_.djvu" на стр. 72 рассматривается более общее уравнение $x^4=2y^4-z^2$, где $\gcd{(x,y)}=1$ (теорема 5). Оно исследуется методом спуска. Книга Лежандра у меня есть, но в очень плохом качестве: topic66830.html Интересно было бы сравнить, но, скорее всего, у Лежандра тоже применяется метод спуска.

[alexo2]

А я пока посмотрю у Морделла...

[ananova]

nnosipov в сообщении #627272 писал(а):

alexo2 в сообщении #627238 писал(а):

В этом всем мне, правда, не до конца понятно – надо ли доказывать, что разность соседних кубов – всегда 1 плюс 6 умноженное на треугольное число.

Вот это как раз доказывать не надо, потому что это очевидно. Итак, мы от Вас ждём элементарного доказательства того, что уравнение $x^3-(x-1)^3=y^3$ не имеет решений в натуральных числах $x$, $y$ ($x>1$).

Извиняюсь, я правильно понял, что в данном случае $x$ и $y$ не являются переменными уравнения $x^3+y^3=z^3$?

[alexo2]

ananova в сообщении #664984 писал(а):

[quote="nnosipov в сообщении #627272"
Итак, мы от Вас ждём элементарного доказательства того, что уравнение $x^3-(x-1)^3=y^3$ не имеет решений в натуральных числах $x$, $y$ ($x>1$).

Извиняюсь, я правильно понял, что в данном случае $x$ и $y$ не являются переменными уравнения $x^3+y^3=z^3$?[/quote]
Ну, скажем так - это частный случай с разностью соседних кубов, правда, по ним здесь несколько отдельных тем. Но не эта...

[nnosipov]

nnosipov в сообщении #664804 писал(а):

Интересно было бы сравнить, но, скорее всего, у Лежандра тоже применяется метод спуска.

Да, так и есть. См. стр. 406 в книге по ссылке http://archive.org/download/essaisurlat ... 00lege.pdf

[alexo2]

nnosipov в сообщении #665046 писал(а):

Да, так и есть. См. стр. 406 в книге по ссылке http://archive.org/download/essaisurlat ... 00lege.pdf

Вот спасибо за ссылку! И качество, вроде неплохое.

[AKM]

alexo2,

Извольте следить за качеством сообщений. Для этого служит кнопка \fbox{Предпросмотр}.
Я имею в виду корявое цитирование в этом Вашем сообщении.

[quote="........."  <--- (Вот здесь Вы просто откусили квадратную скобку, закрывающую тэг quote.)
 Итак, мы...