Существование интеграла (из статьи по квантовой теории поля)

[pupsik]

Читаю статью Аникина, Завьялова, Поливанова "Одно простое доказательство теоремы Боголюбова-Парасюка", заткнулся на первой же лемме:

С какого там этот интеграл существует? Можно же взять $\tilde{\Phi}(a)=e^{ika}$, и сходимости не будет при $\varepsilon=k$. Или там сходимость в каком-то другом смысле?

[ewert]

pupsik в сообщении #664444 писал(а):

Можно же взять $\tilde{\Phi}(a)=e^{ika}$, и сходимости не будет при $\varepsilon=k$.

С какой то стати не будет? Взять $\tilde{\Phi}(a)=e^{ika}$ -- это даже лучше для сходимости, чем взять просто $\tilde{\Phi}(a)=1$, для которой сходимость тривиальна.

[pupsik]

Кажется, понял. Там в показателе экспоненты нет множителя $i$, т.е., просто отрицательное число, а мне показалось, что есть. Я лох

[ewert]

Справедливости ради стоит добавить, что авторы всё-таки проявили некоторую небрежность в формулировке. Т.е. формально-то да, интеграл сойдётся -- в смысле существования предела того интеграла по прямоугольникам. Только вот в многомерном случае (в отличие от одномерного) условная сходимость в каком угодно конкретном смысле имеет крайне низкую практическую ценность. Так что им следовало бы предположить не более чем полиномиальный рост интеграла от модуля функции -- и утверждать, соответственно, абсолютную сходимость интеграла с экспонентами.

Хотя я и не знаю, для доказательства чего в точности им та лемма понадобилась; может, её и хватит. Однако сильно сомневаюсь. Ибо условная сходимость, привязанная к конкретным координатным осям, геометрически неинвариантна и, соответственно, вряд ли может оказаться полезной в физике.

[pupsik]

У меня возникло впечатление, что в современной физике вообще редко что-либо по-настоящему сходится, везде какие-то регуляризации, которые лепят как попало, чтобы только ответ сошёлся или считать было легче

[Munin]

Самое главное, чтобы ответ, полученный таким способом, сошёлся с экспериментом. Если это достигнуто (а это победоносно достигнуто в 1948 и продолжает успешно достигаться в наши дни), математическая нестрогость уже не так принципиальна.

Смею заметить, что у самих математиков с 17 по 19 века всё дифференциальное и интегральное исчисление сходилось "незаконно", до Коши и Вейерштрасса. То есть дольше, чем от Коши до наших дней. И ничего, не развалилась математика.