Оценить норму функционала через норму оператора

[amfisat]

Всем привет!

Направьте, пожалуйста, в сторону решения такой задачи. Есть линейный функционал $F(A)$, норму которого надо оценить через норму $A$, причем $||A|| \leq 1$:
$F(A) = \sum\limits_{i=0}^{\infty} {(-1)^i(i+5)A^i}$.

Сначала я выписал несколько первых членов этой суммы (посмотреть, что имеется):

$F(A) = 5 - 6A + 7A^2 - 8A^3 + ...$.

По логике:

$||F(A)|| \leq 5 + 6||A|| + 7||A^2|| + 8||A^3|| + ...$.

Что дальше делать - не совсем понятно. Или я вообще неправильно действую - и можно по-другому?

Спасибо.

[NhSsUe]

а в задании точно $||A||\leq1$, а не $||A||<1$.
в этом случае $||A^n||\leq ||A||^n$, и ряд полученный у вас в конце сходится можно посчитать.

[amfisat]

Да, Вы правы: $||A|| < 1$.

Боюсь, не совсем понимаю, как считать.

Как-то так:

$||F(A)|| \leq ||A||\sum\limits_{i=0}^{\infty} {(-1)^i(i+5)}$ ?

[мат-ламер]

Допустим исходный ряд был рядом не от оператора, а от какой-то переменной. Вы бы его сумму смогли бы найти (с помощью интегрирования)? Затем в сумму вместо переменной поставьте оператор и всё строго обоснуйте.

[ewert]

amfisat в сообщении #664464 писал(а):

Есть линейный функционал $F(A)$, норму которого надо оценить через норму $A$, причем $||A|| \leq 1$:
$F(A) = \sum\limits_{i=0}^{\infty} {(-1)^i(i+5)A^i}$.

А это ни разу не функционал. Что такое функционал, собственно-то говоря?...