Оценки количества некоторых групп чисел среди простых чисел

[vorvalm]

Я думаю, что формулы Харди-Литлвуда не предназначены для вычисления числа
этих групп на интервалах, но являются предтечей к доказательству бесконечности
таких групп в ряду простых чисел.

[vicvolf]

В этой же статье, на которую я давал ссылку, приведены результаты вычислений, которые показывают, что относительная ошибка при вычислении по данным формулам при больших интервалах достаточно мала.

[vorvalm]

В этой ссылке меня заинтересовали вопросы:
1) Что понимать под ($p,\;p+6$)? Это разность между соседними числами?
2) Приведенные формулы ограничиваются по вашей трактовке $k=4,$
или есть формулы и для $k>4$?
3) Нет формулы для ($6,6,6$).

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #663906 писал(а):

В этой ссылке меня заинтересовали вопросы:
1) Что понимать под ($p,\;p+6$)? Это разность между соседними числами?

Это два простых с расстоянием 6 k=2. Я записываю такие кортежи (6).

Цитата:

2) Приведенные формулы ограничиваются по вашей трактовке $k=4,$
или есть формулы и для $k>4$?
3) Нет формулы для ($6,6,6$).

В общем виде есть гипотеза Диксона:
http://primes.utm.edu/glossary/xpage/Di ... cture.html

Продолжение
В последнем сообщении мы говорили о двух способах рачета количества k-кортежей в ряде простых чисел - с помощью конечной суммы и определенного интеграла. Какой способ выбрать? На этот вопрос отвечает утверждение, рассмотренное ниже.

Утверждение 4
Пусть последовательность f(n) на интервале от А до бесконечности имеет асимтотическую плотность $P(f,A,x)$ с непрерывной, монотонно-убывающей функцией F(x). При этом $\lim \limits_{x \to \infty} {F(X)}=0$. Тогда $\sum_{i=1}^{N}{F(i)}-\int_{A}^{N}{F(t)dt}=C + O(F(N)). (13)$

Доказательство
Рассмотрим $\int_{i}^{i+1}{F(t)dt}.$ Так как функция F(x) монотонно-убывающая, то:
$F(i+1)<\int_{i}^{i+1}{F(t)dt}<F(i),$ поэтому
$0<F(i)-\int_{i}^{i+1}{F(t)dt}<F(i)-F(i+1).$
Рассмотрим ряд:
$\sum_{i=1}^{\infty}{[F(i)-F(i+1)]}=F(1)-F(2)+F(2)-F(3)+...=F(1),$ т.е. данный ряд сходится.
Поэтому ряд $\sum_{i=1}^{\infty}{[F(i)-\int_{i}^{i+1}{F(t)dt}]}$ также сходится.
Рассмотрим остаток этого ряда, начиная с N+1 члена:
$R(N)=\sum_{i=N+1}^{\infty}{[F(i)}-\int_{i}^{i+1}{F(t)dt]}\leq \sum_{i=N+1}^{\infty}{[F(i)-F(i+1)]}$$=F(N+1),$ т.е.
$R(N)=\sum_{i=N+1}^{\infty}{F(i)}-\int_{N+1}^{\infty}{F(t)dt}.$
Обозначим С сумму сходящегося ряда:
$C=\sum_{i=1}^{\infty}{[F(i)-\int_{i}^{i+1}{F(t)dt}]}=F(1)-\int_{A}^{A+1}{F(t)dt}+F(2)-\int_{A+1}^{A+2}{F(t)dt}+...+F(N)-\int_{A+N-1}^{A+N}{F(t)dt}+O(F(N)).$
Поэтому:
$\sum_{i=1}^{N}{F(i)}=\int_{A}^{N}{F(t)dt}+C+O(F(N)),$ где С зависит от функции F(x).
Отсюда вытекает формула (13) ч.т.д.

Например, в частном случае для F(x)=1/x, удолетворяющей условиям утверждения 4 на основании теоремы 54 Бухштаб С=0,577215...(постоянная Эйлера).

Продолжение следует. Буду благодарен за замечания и предложения.

[vicvolf]

Продолжение

Рассмотрим теперь значение постоянной С из утверждения 4 для других функций асимтотической плотности F(x).
Подсчеты показывают, что для функции плотности распределения простых чисел в натуральном ряде С=0,85..., для функции плотности распределения простых близнецов в натуральном ряде постоянная С=0,55...., для функции плотности распределения простых кортежей (2,4) в натуральном ряде постоянная С=0,58...., для функции $F(x)=\frac {1} {\sqrt{x}}$ постоянная С=0,53..., для функции $F(x)=\frac {1} {x^2}$ постоянная С=0,64492....
Во всех случаях кроме последнего ряд и несобственный интеграл расходятся, поэтому значение С<1 не играет роли в асимтотической оценке при больших значениях - x.
Например, количество простых чисел меньше 20000 через конечную сумму равно 2288,421 с округлением (2288), а через определенный интеграл 2287,570 (2287). Поэтому для оценки можно использовать и конечную сумму и определенный интеграл.
В последнем случае ряд и несобственный интеграл сходятся. Ряд сходится к 1,64492..., а несобственный интеграл к 1, поэтому С играет существенную роль в оценке.

[vorvalm]

В чем принципиальная разница вашей оценки числа близнецов и В.Бруна?

[vicvolf]

vicvolf в сообщении #662133 писал(а):

Это не совсем тоже. Бруно доказал оценку сверху для количества близнецов. Я вывожу асимптотическое равенство для количества k-кортежей. Это асимтотическая теорема о распределении простых чисел в последовательности натурального ряда чисел при k=1. Это гипотеза Харди-Литлвуда для простых близнецов в последовательности натурального ряда чисел при k=2, на которую я сделал ссылку в начале работы.
Кстати посмотрите тему о плотности числовой последовательности - я там пишу об асимтотической плотности одной последовательности в другой последовательности и в частности об асимтотической плотности вычетов, простых чисел и простых близнецов в натуральном ряде чисел.

[vorvalm]

vorvalm в сообщении #664730 писал(а):

В чем принципиальная разница вашей оценки числа близнецов и В.Бруна?

Вопрос стоит только о близнецах, т.е. по-вашему при К=2, вот и все.

[vicvolf]

vorvalm писал(а):

Вопрос стоит только о близнецах, т.е. по-вашему при К=2, вот и все.

Все утверждения и следствия из них справедливы для простых k-кортежей, а следовательно для простых близнецов, как частного случая такого кортежа (2).
Я еще не привел все утверждения. В новом году будет продолжение.

[vicvolf]

Продолжение

Из утверждения 4 вытекает $\sum_{i=0}^{n}{F(A+i)}-\int_{A}^{n}{F(x)dx} =C+O(F(n)).$ Таким образом, $C=\lim \limits_{n \to \infty} {[\sum_{i=0}^{n}{F(A+i)}-\int_{A}^{n}{F(x)dx}]}.$
Дадим оценку для постоянной С сверху.

Утверждение 5
Пусть на интервале [$A,\infty$) существует функция F(x), обладающая следующими свойствами:
1. $\lim \limits_{x \to \infty} {F(x)}=0.$
2. Имеет производные нужного порядка.
3. $F^{(2k-1)}(x)<0$.
4. $|\frac {B_{2k}(2K)!F^{(2k+1)}(A)} {B_{2k+2}(2k+2)!F^{(2k-1)}(A)}|<1,$ где $B_n$ - n-ое число Бернулли.
Тогда $C\leq F(A)/2+|F'(A)|/12,$ где $C=\lim \limits_{n \to \infty} {[\sum_{i=0}^{n}{F(A+i)}-\int_{A}^{n}{F(x)dx}]}.(14)$
Доказательство
Учитывая, что функция F(x) имеет производные нужного порядка, то на основании формулы Эйлера-Маклерона справедливо следующее асимптотическое равенство:
$\sum_{i=0}^{n}{F(A+i)}-\int_{A}^{n}{F(x)dx} \sim F(A)/2+F(n)/2+\sum_{k=1}^{\infty}{\frac {B_{2k}F^{(2k-1)}(n)} {(2K)!}} - \sum_{k=1}^{\infty}{\frac {B_{2k}F^{(2k-1)}(A)} {(2K)!}}. $
Тогда $C=F(A)/2-\sum_{k=1}^{\infty}{\frac {B_{2k}F^{(2k-1)}(A)} {(2K)!}}.(15)$
Так как $\lim \limits_{x \to \infty} {F(x)}=0$ и $F'(x)<0$, то на основании утверждения 4 ряд (15) сходится, а следовательно сходится ряд $\sum_{k=1}^{\infty}{\frac {B_{2k}F^{(2k-1)}(A)} {(2K)!}}.(16)$
На основании условия 2 $F^{(2k-1)}(x)<0$, а у чисел Бернулли $B_{2k}$ с четными номерами знаки чередуются, то ряд (16) является знакочередующимся.
На основании выполнения условий 1 и 4 ряд (16) сходится по признаку Лейбница.
Преобразуем ряд:
$C=F(A)/2-\frac {B_2 F^{(1)}(A)} {(2)!}+\frac {B_4 F^{(3)}(A)} {(4)!}+...=F(A)/2-\frac { F^{(1)}(A)} {12}+\frac { F^{(3)}(A)} {720}+...=F(A)/2+\frac {|F^{(1)}(A)|} {12}-\frac {| F^{(3)}(A)|} {720}+...$.
Так как по условию 4 модули членов ряда монотонно убывают, то выполняется:
$C\leq F(A)/2+|F'(A)|/12.$ ч.т.д.

[vicvolf]

Продолжение

Условиям утверждения 5 удолетворяют все рассмотренные выше функции плотности последовательностей F(x) на интервале [$A, \infty$), поэтому утверждение 5 в отношении их справедливо.
Рассмотрим, например, функцию плотности $F(x)=1/x$. Естественно для этой функции выполняется условие 1 утверждения 5.
Теперь найдем производные для $F(x)=1/x$.
$F^{(1)}(x)=-1/x^2,F^{(2)}(x)=2/x^3,F^{(3)}(x)=-6/x^4,F^{(4)}(x)=24/x^5,...F^{(n)}(x)=(-1)^{n}(n)!/x^{n+1}.$
Следовательно, для $F(x)=1/x$ выполняется условие 2 - существования производных на интервале [$1, \infty$) и условие 3 утверждения 5 - все нечетные производные на интервале [$1, \infty$) отрицательны.
В этом случае $C=1/2+1/12-1/120+...=0,57...$ (постоянная Эйлера) и выполняется условие 4 утверждения 5 о монотонном убывании модулей членов ряда.
Таким образом, все четыре условия утверждения 5 выполнены.

Продолжение следует. Буду благодарен за замечания и предложения.

[vicvolf]

Продолжение

Утверждение 6
Для функции $F(x)=1/\ln^k(x)$ на интервале [$A,\infty$) выполняется следующая оценка:
$C<0,6202F(k+1),(17)$ где $C=\lim \limits_{n \to \infty} {[\sum_{i=0}^{n}{F(A+i)}-\int_{A}^{n}{F(x)dx}]}.$

Доказательство
Функция $F(x)=1/\ln^k(x)$ удолетворяет условиям утверждения 5, поэтому $C\leq F(A)/2+|F'(A)|/12.$
В данном случае $F(A)/2=\frac {C_k} {2ln^k(A},$ а $|F'(A)|/12=\frac {kC_k} {12Aln^{k+1}(A)}=\frac {kF(A)} {12AlnA}.$
Поэтому $C\leq F(A)/2+|F'(A)|/12=F(A)(1/2+k/12Aln(A)).$
Для $A=k+1$ получаем:
$C\leq F(k+1)(1/2+\frac {k} {12(k+1)ln(k+1)})<F(k+1)(1/2+\frac {1} {12ln(k+1)})<F(k+1)(1/2+1/12ln2)=0,6202F(k+1).$
ч.т.д.

Продолжение следует. Буду благодарен за замечания и предложения.

[AKM]

vicvolf,

извольте следить за качеством выписываемых Вами формул.
Форумный движок даёт Вам подсказки, которые Вы либо отключили, либо старательно игнорируете.
Возможное величие Ваших открытий и наблюдений --- не повод для игнорирования Наших правил.

[vicvolf]

АКМ! Хорошо, постараюсь!

[vicvolf]

Продолжение

Сравним оценку утверждения 6 $C<0,6202F(k+1)$ с проведенными ранее (в сообщении от 27.12.2012) оценками постоянной С для различных функций асимптотической плотности последовательностей $F(x)$ в натуральном ряде.
Для асимптотической плотности простых чисел $k=1, F(1)=\frac {1} {\ln2}=1,4228, C<0,6202 \cdot 1,4228=0,8948.$ Сравнивая с проведенной ранее оценкой, получаем $0,85<0,8948$.
Для асимптотической плотности простых близнецов $k=2, F(2)=\frac {1,32} {\ln^23}=1,0937, C<0,6202 \cdot 1,0937=0,6783.$ Сравнивая с проведенной ранее оценкой, получаем $0,55<0,6783$.
Для асимптотической плотности простых кортежей (2,4) $k=3, F(3)=\frac {2,86} {\ln^34}=1,0735, C<0,6202 \cdot 1,0735=0,6658.$ Сравнивая с проведенной ранее оценкой, получаем $0,58<0,6658$.
Это подтверждает полученные оценки.

Буду благодарен за замечания и предложения.