Численное интегрирование

[max(Im)]

Как численно вычислить интеграл

$$ \int_0^{\infty} \frac{1-\cos(x)}{x\sqrt x} \, dx ? $$

К 0 стремится функция на бесконечности но отрезать хвост не получается - остаток большой... Как быть, если нужно его посчитать вручную с точностью до $10^{-3}$?

Можно сделать немного по частям, тогда получится $\int\limits_0^{\infty} \frac{\sin(x)}{\sqrt{x}}$ Но как с ним работать?

[ИСН]

По частям не надо (в эту сторону сходимость ухудшается). Первые 10 волн считаем численно руками, честно, а дальше - часть с единицей считаем аналитически, часть с косинусом представляем рядом, считая $1\over x^{3/2}$ приблизительно постоянным на каждой волне.

[max(Im)]

но ведь считая значения $\frac{1}{x^{3/2}}$ приблизительно постоянным, там получится ряд, который выглядит почти как $\zeta(3/2),$ которую тоже надо как-то считать...

[ИСН]

Ну и что? Возьмите первую тыщу членов, жалко, что ли?

[max(Im)]

Вручную? Тыщщу? ох...
Я вот как сделал. Если действительно считать эту функцию на каждой волне постоянной, то тогда интеграл от косинуса на каждой волне будет 0, а вот

$$ \int\limits_{k\cdot \pi}^{\infty}\frac{1}{x\sqrt{x}} = \frac{2}{\sqrt{k\pi}} $$

Для нужной погрешности (если посчитать не руками), получается, что формулы

$$\int\limits_0^{\infty} \frac{1-\cos(x)}{x \sqrt{x}}\approx \frac{2}{\sqrt{k\pi}} + \int\limits_0^{k\pi} \frac{1-\cos(x)}{x \sqrt{x}}$$

достаточно для $k=4.$ Ну правда если не считать точность вычисления интеграла. Вопрос, как это нормально доказать, чем оценить разность этих величин? Получается, например, $\int\limits_{k\pi}^{\infty} \frac{|\cos(x)|}{x \sqrt{x}}$ и непонятно , как показать, что при $k>4$ он меньше $10^{-3}$ (ну или при бОльших $k$)

[ИСН]

Ну э... Не руками же в буквальном смысле Вы считаете численно первую часть интеграла?
В моём методе вместо "волна" везде следует читать "полуволна".
Ваш метод легче оценить, но сам он хуже.

[max(Im)]

А как считать первую часть интеграла?

ИСН в сообщении #663962 писал(а):

Первые 10 волн считаем численно руками

Задача учебная и дается в рамках некоторого курса как "решить на бумажке без использования чего либо".

ИСН в сообщении #664322 писал(а):

Ваш метод легче оценить, но сам он хуже.

И как его оценить?

[Sender]

А если сначала доказать, что он равен $\sqrt{2\pi}$, а уже это значение оценивать численно?

[max(Im)]

А как это доказать?

[Sender]

Вроде такие интегралы считаются с помощью вычетов, возьмите какой-нибудь учебник по ТФКП.

[max(Im)]

Ну все-таки хотелось бы численно(