2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Численное интегрирование
Сообщение26.12.2012, 13:13 
Как численно вычислить интеграл
$$
\int_0^{\infty} \frac{1-\cos(x)}{x\sqrt x} \, dx ?
$$
К 0 стремится функция на бесконечности но отрезать хвост не получается - остаток большой... Как быть, если нужно его посчитать вручную с точностью до $10^{-3}$?

Можно сделать немного по частям, тогда получится $\int\limits_0^{\infty} \frac{\sin(x)}{\sqrt{x}}$ Но как с ним работать?

 
 
 
 Re: Численное интегрирование
Сообщение26.12.2012, 13:24 
Аватара пользователя
По частям не надо (в эту сторону сходимость ухудшается). Первые 10 волн считаем численно руками, честно, а дальше - часть с единицей считаем аналитически, часть с косинусом представляем рядом, считая $1\over x^{3/2}$ приблизительно постоянным на каждой волне.

 
 
 
 Re: Численное интегрирование
Сообщение27.12.2012, 10:48 
но ведь считая значения $\frac{1}{x^{3/2}}$ приблизительно постоянным, там получится ряд, который выглядит почти как $\zeta(3/2),$ которую тоже надо как-то считать...

 
 
 
 Re: Численное интегрирование
Сообщение27.12.2012, 10:56 
Аватара пользователя
Ну и что? Возьмите первую тыщу членов, жалко, что ли?

 
 
 
 Re: Численное интегрирование
Сообщение27.12.2012, 11:23 
Вручную? Тыщщу? ох...
Я вот как сделал. Если действительно считать эту функцию на каждой волне постоянной, то тогда интеграл от косинуса на каждой волне будет 0, а вот
$$
\int\limits_{k\cdot \pi}^{\infty}\frac{1}{x\sqrt{x}} = \frac{2}{\sqrt{k\pi}}
$$

Для нужной погрешности (если посчитать не руками), получается, что формулы $$\int\limits_0^{\infty} \frac{1-\cos(x)}{x \sqrt{x}}\approx \frac{2}{\sqrt{k\pi}} + \int\limits_0^{k\pi} \frac{1-\cos(x)}{x \sqrt{x}}$$ достаточно для $k=4.$ Ну правда если не считать точность вычисления интеграла. Вопрос, как это нормально доказать, чем оценить разность этих величин? Получается, например, $\int\limits_{k\pi}^{\infty} \frac{|\cos(x)|}{x \sqrt{x}}$ и непонятно , как показать, что при $k>4$ он меньше $10^{-3}$ (ну или при бОльших $k$)

 
 
 
 Re: Численное интегрирование
Сообщение27.12.2012, 11:41 
Аватара пользователя
Ну э... Не руками же в буквальном смысле Вы считаете численно первую часть интеграла?
В моём методе вместо "волна" везде следует читать "полуволна".
Ваш метод легче оценить, но сам он хуже.

 
 
 
 Re: Численное интегрирование
Сообщение27.12.2012, 11:48 
А как считать первую часть интеграла?
ИСН в сообщении #663962 писал(а):
Первые 10 волн считаем численно руками

Задача учебная и дается в рамках некоторого курса как "решить на бумажке без использования чего либо".

ИСН в сообщении #664322 писал(а):
Ваш метод легче оценить, но сам он хуже.


И как его оценить?

 
 
 
 Re: Численное интегрирование
Сообщение27.12.2012, 12:07 
А если сначала доказать, что он равен $\sqrt{2\pi}$, а уже это значение оценивать численно?

 
 
 
 Re: Численное интегрирование
Сообщение27.12.2012, 12:39 
А как это доказать?

 
 
 
 Re: Численное интегрирование
Сообщение27.12.2012, 14:00 
Вроде такие интегралы считаются с помощью вычетов, возьмите какой-нибудь учебник по ТФКП.

 
 
 
 Re: Численное интегрирование
Сообщение27.12.2012, 16:07 
Ну все-таки хотелось бы численно(

 
 
 [ Сообщений: 11 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group