Собственные значения и векторы

[Limit79]

Вычисляю сабж, получаю $\lambda_{1,2} = -4$. Вопрос: собственных векторов будет два или же один? Или же это зависит от конкретной матрицы?

Спасибо.

[SpBTimes]

зависит от матрицы

[alcoholist]

у единичной матрицы любой вектор -- собственный

[Limit79]

Спасибо, разобрался.

[Евгений Машеров]

Собственных векторов будет не два, а либо бесконечно много, либо один. Первый случай именуется "алгебраическая кратность", и тогда любая линейная комбинация с.в. также будет с.в. Второй случай - геометрическая кратность, когда у нас жордановы клетки, тогда с.в. только один.
Для симметричных матриц кратность только алгебраическая.

[bot]

Евгений Машеров в сообщении #663900 писал(а):

когда у нас жордановы клетки, тогда с.в. только один

Тоже бесконечно много, один - с точностью до множителя, если клетка одна.

[ewert]

Кроме того, алгебраическая кратность не имеет отношения к собственным векторам. И вообще.

[bot]

Прямое отношение к сабжу имеет геометрическая кратность - она же число жордановых клето с данным собственным числом.

[Евгений Машеров]

Если выбирается хоть какой-то способ нормировки - то для некратных с.з. собственные вектора определяются однозначно. Если алгебраическая кратность - то однозначность пропадает, но имеется пространство, и любая совокупность линейно независимых векторов может рассматриваться, как совокупность собственных векторов, относящихся к данным с.з., "Затруднение от избытка". Если геометрическая - то собственный вектор, вне зависимости от кратности, один на всех, "затруднение от бедности".

[nnosipov]

Евгений Машеров, что-то Вы как-то хитро излагаете простые вещи. Геометрическая кратность собственного значения --- это размерность собственного подпространства, соответствующего этому собственному значению (или в терминах жордановых клеток, как было сказано выше). Она всегда не превосходит алгебраической кратности.

[ewert]

Евгений Машеров в сообщении #663922 писал(а):

Если алгебраическая кратность - то однозначность пропадает, но имеется пространство, и любая совокупность линейно независимых векторов может рассматриваться, как совокупность собственных векторов, относящихся к данным с.з.,

Алгебраическая кратность не имеет отношения к собственным векторам. Это лишь характеристика весьма специфичного (имеющего смысл только для конечномерных задач) аналитического инструмента -- характеристического многочлена. В противоположность сугубо геометрическим понятиям собственных векторов, собственного подпространства и геометрической кратности. Нормировка же собственных векторов -- это третий, совсем отдельный бантик, который навешивается на собственные векторы исключительно сбоку (и, кстати, вовсе не гарантирует однозначности, как неоднозначен и сам термин "нормировка"). Короче, в доме Облонских всё смешалось.

[Евгений Машеров]

Ну, как же - "не имеет"? Вот начинаем их, с.в., вычислять. Делаем "по разделениям" - сперва собственные значения нашли, потом решаем
$Ax=\lambda x$ тем или иным способом. И тут полезно знать, что бывает "алгебраическая кратность", что этим нескольким разным лямбда соответствуют разные с.в., и что они в этом случае не определены однозначно (с точностью до нормировки), а любая их линейная комбинация тоже подойдёт.
Соответственно, надо доработать вычислительную процедуру, скажем, если обратными итерациями считаем - надо для следующего брать начальное приближение ортогональное уже найденным, и по ходу может понадобиться ортогонализация.

[bot]

Ортогональность здесь тоже не причём. Похоже Вы путаете сабж с собственными числами и собственными векторами симметрической матрицы. В этом случае алгебраическая и неометрическая кратности совпадают.

[Евгений Машеров]

Для симметрической матрицы вообще не бывает геометрической кратности. Это Вас куда-то несёт...

[nnosipov]

Евгений Машеров в сообщении #664327 писал(а):

Для симметрической матрицы вообще не бывает геометрической кратности.

Дайте определение геометрической кратности собственного значения. Оно у Вас, видимо, какое-то особенное.