Норма функционала

[no_use_for_a_login]

Допустим, требуется найти норму какого-нибудь функционала над $l_2$. Если функционал представлен в виде $f(x)=\sum_k{x_k}{y_k}$, то можно воспользоваться теоремой Рисса, тогда $||f||=||y||_{l_2}$, т.к. $l_2$ гильбертово.

Если функционал задан над $l_1$, то можно считать $||f||$ как $||y||_{l_\infty}$. Между $l_1^*$ и $l_\infty$ есть изоморфизм, но т.к. $l_1$ не гильбертово, не понятно, откуда это следует.

[ewert]

no_use_for_a_login в сообщении #664213 писал(а):

Между $l_1^*$ и $l_\infty$ есть изоморфизм, но т.к. $l_1$ не гильбертово, не понятно, откуда это следует.

Непонятно, что именно непонятно следует. Почему изоморфизм, да? Если так, то это надо просто честно и постепенно доказывать. Очевидно, что есть изометрическое вложение $l_\infty$ в $l_1^*$, т.е. что каждый элемент из $l_\infty$ порождает функционал над $l_1$ с сохранением нормы. Остаётся доказать обратное -- что каждый функционал порождается таким образом. Это делается в лоб: действие любого функционала в силу его линейности и ограниченности описывается соответствующим рядом, и нетрудно доказать, что набор коэффициентов этого ряда обязан быть из $l_\infty$ -- иначе не будет ограниченности.

Что же касается $l_2$, то и тут работает ровно та же схема, ссылаться на теорему Рисса необходимости нет (теорема Рисса -- штука гораздо более сильная, она верна и для несепарабельных гильбертовых пространств).

[no_use_for_a_login]

Спасибо, вроде понятно