2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: Дифференцируемость по параметру.
Сообщение25.12.2012, 18:44 


23/11/11
230
Для $|x|\leqslant 1$

$|a|\leqslant 1\; \Leftrightarrow\; -a^2\geqslant -1\; \Leftrightarrow \;  -a^2x^2\geqslant -x^2\;  \Leftrightarrow \; 1-a^2x^2\geqslant 1-x^2\;\Leftrightarrow \; $

$\;\Leftrightarrow \;\ln(1-a^2x^2)\geqslant \ln(1-x^2)\;\Leftrightarrow \;\dfrac{\ln(1-a^2x^2)}{\sqrt{1-x^2}}\geqslant \dfrac{\ln(1-x^2)}{\sqrt{1-x^2}}$

-- 25.12.2012, 19:00 --

Чтобы доказать тот факт, что мы можем дифференцировать по параметру, нам нужно доказать, что интеграл от производной по параметру сходится равномерно.

$I(a)=\int\limits_0^{\pi/2}\ln(1-a^2\sin^2x)dx$

$I'(a)=\int\limits_0^{\pi/2}\dfrac{-2a\sin^2x}{1-a^2\sin^2x}dx$

$\Bigg|\int\limits_0^{\pi/2}\dfrac{-2a\sin^2x}{1-a^2\sin^2x}dx\Bigg|\leqslant \Bigg|\int\limits_0^{\pi/2}\dfrac{2dx}{1-a^2\sin^2x}\Bigg|$

Я просто в лоб вычислил $\int\limits_0^{\pi/2}\dfrac{dx}{1-a^2\sin^2x}$

Он сходится при $|a|<1$ при $|a|=1$ - расходится.

Можем ли мы в итоге дифференцировать по параметру тогда? Как быть со случаем $|a|=1$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцируемость по параметру.
Сообщение25.12.2012, 19:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/10
1600
spb
Неравенство было верное. Более того, ограничить тоже можно и не вводя замену.
Дифференцировать можно внутри области, но потом переход к пределу осуществим в силу непрерывности по параметру. И это все объяснялось.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцируемость по параметру.
Сообщение25.12.2012, 19:21 


23/11/11
230
SpBTimes в сообщении #663684 писал(а):
Неравенство было верное. Более того, ограничить тоже можно и не вводя замену.
Дифференцировать можно внутри области, но потом переход к пределу осуществим в силу непрерывности по параметру. И это все объяснялось.


Спасибо.

Я помню, что было, но что-то я про переход к пределу -- не понимаю. Вот бы тут подробнее -- как осуществляется этот переход.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцируемость по параметру.
Сообщение25.12.2012, 19:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/10
1600
spb
Вычисляете интеграл дифференцированием, а значение в единице берете предельное

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцируемость по параметру.
Сообщение25.12.2012, 20:47 


31/12/10
1555
Господа, на каком это основании вы при переходе к параметру
оставляете переменную $x$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцируемость по параметру.
Сообщение25.12.2012, 22:11 


23/11/11
230
SpBTimes в сообщении #663708 писал(а):
Вычисляете интеграл дифференцированием, а значение в единице берете предельное


То есть можно сказать, что при $|a|<1$ необходимые условия для дифференцирования по параметру выполнены, потому вычисляем

$I(a)=\pi\left(\dfrac{1+\sqrt{1-a^2}}{2}\right)$

А для случая $a=\pm 1$ имеем:

$I(1)=\displaystyle\lim_{a\to 1-0}\pi\left(\dfrac{1+\sqrt{1-a^2}}{2}\right)=0$

$I(-1)=\displaystyle\lim_{a\to -1+0}\pi\left(\dfrac{1+\sqrt{1-a^2}}{2}\right)=0$


Верно?

-- 25.12.2012, 22:12 --

vorvalm в сообщении #663740 писал(а):
Господа, на каком это основании вы при переходе к параметру
оставляете переменную $x$?


Да, лучше уж обозначать хотя бы $t$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцируемость по параметру.
Сообщение25.12.2012, 22:39 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
vorvalm в сообщении #663740 писал(а):
Господа, на каком это основании вы при переходе к параметру
оставляете переменную $x$?

На основании того, что пределы тоже пересчитаны, а тогда какая разница.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцируемость по параметру.
Сообщение25.12.2012, 22:48 


23/11/11
230
В предположении, что интеграл этот интеграл $I(a)=\pi\left(\dfrac{1+\sqrt{1-a^2}}{2}\right)$ вычислен верно (а он вычислен верно, сверил с ответами), то верны ли рассуждения в моем последнем сообщении?

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцируемость по параметру.
Сообщение25.12.2012, 22:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/10
1600
spb
Верны, только условия достаточные

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцируемость по параметру.
Сообщение25.12.2012, 23:19 


23/11/11
230
SpBTimes в сообщении #663804 писал(а):
Верны, только условия достаточные


А точно, достаточные условия! Спасибо!!!!

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцируемость по параметру.
Сообщение26.12.2012, 00:59 


23/11/11
230
А после замены - обязательно ли у такого интеграла $I(a)=\int\limits_0^{\pi/2}\ln(1-a^2\sin^2x)dx$ проверять равномерную сходимость для интеграла от производной или из-за того, что этот интеграл -- собственный, будет достаточно непрерывности подынтегральной функции и производной подынтегральной функции по параметру?

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцируемость по параметру.
Сообщение26.12.2012, 01:08 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
SpBTimes в сообщении #663804 писал(а):
Верны, только условия достаточные

ну только не считая того, что нулей-то там не получится, разумеется

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцируемость по параметру.
Сообщение26.12.2012, 01:20 


23/11/11
230
ewert в сообщении #663862 писал(а):
SpBTimes в сообщении #663804 писал(а):
Верны, только условия достаточные

ну только не считая того, что нулей-то там не получится, разумеется


Ой, там логарифм куда-то пропал.

$I(a)=\pi\ln\left(\dfrac{1+\sqrt{1-a^2}}{2}\right)$

-- 26.12.2012, 01:22 --

ewert в сообщении #663466 писал(а):
Получится вполне себе собственный интеграл, для которого никаких вопросов насчёт равномерности не возникает, т.к. вполне очевидна непрерывная дифференцируемость по параметру новой подынтегральной функции.


Кажется я нашел ответ на предыдущий вопрос - найден. Что-то как-то со внимательностью у меня туговато...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 43 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group